Далее: Клиновидные пластинки Вверх: Интерференция света Назад: Интерференция света

Плоскопараллельные пластинки

Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает плоская монохроматическая световая волна, направление распространения которой показано падающим лучом на рис. 9. В результате отражений от обеих поверхностей пластинки исходная волна расщепится на две, что и показано лучами 1 и 2. Амплитуды этих волн мало отличаются друг от друга — это важно для получения достаточно контрастной интерференции.

Рис. 9

Заметим, что, кроме этих двух отраженных волн (1 и 2), возникает еще многократное отражение. Однако их вклад практически пренебрежимо мал (см. задачу 5 в разделе 1.3 ``Примеры решения задач''), и мы ограничимся только волнами, возникшими при однократном отражении.

Оптическую разность хода волн 1 и 2 определим, согласно рис. 9, как

$$\Delta = n(AB + BC) - AD,$$ (31)

где $n_{}$ — показатель преломления вещества пластинки. Кроме того, видно, что $AB=BC={\displaystyle 2b\over\displaystyle\cos\vartheta'}$ и $AD=2b\tg\vartheta'\cdot\sin\vartheta$, $b$ — толщина пластинки. В результате подстановки этих выражений в (31) получим

$$\Delta = 2nb\cos\vartheta'.$$ (32)

Следует также учесть, что при отражении от верхней поверхности пластинки (от среды, оптически более плотной) в соответствии с (Лекция 4, формула 34)² происходит скачок фазы на $\pi_{}$ у отраженной волны, т.е., как говорят, «потеря» полуволны $\left(\pm{\displaystyle\lambda\over\displaystyle2}\right)$. Учитывая еще, что $\sin\vartheta = n\sin\vartheta'$, получим

$$\Delta=2b\sqrt{n^2-\sin^2\vartheta}-{\lambda\over2}$$ (34)

(здесь можно было написать и $+{\displaystyle\lambda\over\displaystyle2}$, но это не существенно).

Если отраженные волны 1 и 2 когерентны между собой (а мы об этом позаботимся), то максимумы отражения будут наблюдаться при условии

$$2b\sqrt{n^2-\sin^2\vartheta}-{\lambda\over2}=m\lambda,$$ (35)

где $m_{}$ — целое число (порядок интерференции).

Меняя угол падения $\vartheta$, мы будем наблюдать последовательную смену максимумов и минимумов отражения. (Заметим, что при минимуме отражения наблюдается максимум проходящего через пластинку света, и наоборот.) Если бы обе отраженные волны были некогерентными, то такого явления мы не наблюдали бы: по мере увеличения угла падения интенсивность отраженного света монотонно уменьшалась бы.

Теперь выясним условия, при которых отраженные волны будут когерентными и смогут интерферировать, т. е. выполняются соотношения (22) и (25).

Проиллюстрируем ситуацию с помощью рис. 10. Выделим в падающей волне некоторую область когерентности $l_{\text{ког}}\cdot\rho_{\text{ког}}$ (она слегка затенена на рисунке) и проследим за ее дальнейшей судьбой. После расщепления падающей волны расщепится и выделенная область когерентности, причем так, что в отраженных волнах эти области когерентности сместятся относительно друг друга рис. 10,a. Если они при этом перекрываются (на рисунке более темный участок), интерференция будет наблюдаться и тем более отчетливо, чем больше степень перекрытия.

Рис. 10

Нетрудно видеть, что для пластинки с большей толщиной область перекрытия когерентных участков уменьшается рис. 10 b, и интерференция будет наблюдаться все менее отчетливо. Начиная с некоторой толщины пластинки итерференция исчезнет совсем.

Из рис. 10 видно, что смещение расчлененных частей области когерентности происходит как вдоль распространения волны (оно не должно превосходить длину когерентности $l_{ \text{ког}}$), так и поперек распространения волны (смещение не должно превосходить ширину когерентности $\rho_{ \text{ког}}$). Интерференция будет наблюдаться лишь в том случае, когда будут удовлетворены оба эти условия. Напомним, что для лучшей видности мы договорились брать половины значений $l_{ \text{ког}}$ и $\rho_{ \text{ког}}$.

Перейдем к расчету. Согласно (22), необходимо, чтобы оптическая разность хода
$\Delta \le {\displaystyle l_{ \text{ког}}\over\displaystyle2}$. Следовательно,

$$2b\sqrt{n^2-\sin^2\vartheta}-{\lambda\over2}\le {l_{ \text{ког}}\over2}.$$ (36)

Для оценки необходимого значения толщины пластинки $b$ будем считать, что корень в этом выражении равен величине порядка единицы (что обычно и бывает), а также пренебрежем $\lambda\over2$. Тогда получим

$$2b\le {l_{ \text{ког}}\over2},$$

т. е. необходимо, чтобы удвоенная толщина пластинки была не более половины длины когерентности используемого излучения. Например, если $\lambda = 600 { \text{нм}}$, а $\Delta\lambda = 3 { \text{нм}}$, то толщина пластинки

$$b\le{\lambda^2\over4\Delta\lambda} = 3 \cdot 10^4{ \text{нм}} = 30{ \text{мкм}}.$$

Далее, поперечный сдвиг частей области когерентности не должен превосходить половины ширины когерентности $\rho_{ \text{ког}}$. Этот сдвиг, как видно из рис. 9, равен отрезку $DC_{}$. Значит, необходимо, чтобы $DC \le {\displaystyle\rho_{ \text{ког}}\over\displaystyle2}$. Из рис. 9 следует, что

$$DC=2b\tg\vartheta'\cos\vartheta=b\frac{\sin2\vartheta}{\sqrt{n^2- \sin^2\vartheta}}.$$

Это смещение существенно зависит от угла падения $\vartheta$. Чем меньше угол падения, тем меньше смещение $DC_{}$, тем меньше может быть $\rho_{ \text{ког}}$. И основную роль в этом случае будет играть длина когерентности. При $\vartheta = 0$ смещение происходит только вдоль распространения волн, поперек — оно равно нулю, и ширина когерентности $\rho_{ \text{ког}}$ становится практически не существенной.

Обратимся к вопросу, что следует понимать под словами «тонкая» пластинка. Когда говорят, что интерференция происходит при отражении от тонкой пластинки, то имеют в виду, что ее толщина меньше (в той или иной степени) $l_{ \text{ког}}$ и $\rho_{ \text{ког}}$ (если $\vartheta\ne0$). Причем — это важно — при нормальном падении интерференция обеспечивается только соотношением между толщиной пластинки и $l_{ \text{ког}}$.

Для солнечного света ( $l_{ \text{ког}}\approx5\lambda$ ) пластинка будет тонкой, если ее толщина порядка нескольких длин волн. Длину когерентности можно увеличить с помощью светофильтров, соответственно увеличивается и толщина пластинки, которую мы называем тонкой. Для лазерного же излучения тонкой будет пластинка в десятки сантиметров и метров (в зависимости от длины когерентности излучения используемого лазера).

Итак, мы выяснили, что при падении плоской световой волны на плоскопараллельную тонкую пластинку интенсивность отраженного света зависит от угла падения. Изменяя этот угол, мы будем наблюдать чередование максимумов и минимумов отраженного света. Это можно использовать для получения интерференционной картины в виде привычной системы полос. Достаточно использовать в качестве падающего рассеянный монохроматический свет (он содержит волны, падающие на пластинку одновременно под разными углами), а на пути отраженного света поставить линзу и в ее фокальной плоскости экран (рис. 11).

Рис. 11

Максимумы на экране будут располагаться в местах, соответствующих условию (35). Полоса данного порядка интерференции обусловлена светом, падающим на пластинку под одним и тем же углом $\vartheta$, но с разных направлений. Поэтому такие полосы называют полосами равного наклона. При расположении линзы как показано на рисунке, эти полосы имеют вид концентрических колец с центром в ее фокусе $F_{}$. Порядок интерференции $m_{}$ растет с уменьшением угла падения $\vartheta$, и в центре картины он максимален.

Поскольку для наблюдения интерференционной картины в данном случае экран помещают в фокальной плоскости линзы, т. е. так, как его располагают для получения на нем изображения бесконечно удаленных предметов, то говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Роль линзы и экрана может играть хрусталик и сетчатка глаза. В этом случае для наблюдения полос равного наклона глаз нужно аккомодировать (настраивать) так, как при рассмотрении удаленных предметов.

В белом свете интерференционные полосы окрашены. Поэтому такое явление называют цвета тонких пластинок.

Далее: Клиновидные пластинки Вверх: Интерференция света Назад: Интерференция света