Далее: Пространственная когерентность Вверх: Когерентность Назад: Когерентность

Временная когерентность

Рассмотренный выше прцесс интерференции гораздо более сложен. Это обусловлено тем, что монохроматическая волна представляет собой абстракцию. Всякая реальная световая волна образуется наложением колебаний всевозможных частот (или длин волн), заключенных в более или менее узком, но конечном интервале частот $\Delta\omega_{}$ (соответственно длин волн $\Delta\lambda$). Даже для квазимонохроматического света интервал частот $\Delta\omega_{}$ является конечным. В общем виде уравнение колебания можно представить как

$$E=E_0(t)\cos[\omega t-\varphi (t)].$$ (13)

Если амплитуда $E_0(t)$ и фаза $\varphi (t)$ меняются во времени относительно медленно по сравнению с основными колебаниями с частотой $\omega_{}$, то волны типа (13), называются квазимонохроматическими.

Перейдем к выяснению роли немонохроматичности световых волн. Пусть световое возмущение описывается уравнением (13), где амплитуда $E_0$ и начальная фаза $\varphi$ являются постоянными величинами, не зависящими от времени в некотором определенном интервале $\tau=\Delta t=t_2-t_1$ (рис. 4):

$$\left. \begin{array}{rcl} E(t)=E_0e^{i\omega_0 t}\qquad\text{при}... ...quad \vert t\vert>{\displaystyle\tau\over\displaystyle2}. \end{array} \right \}$$ (14)

Рис. 4

Колебание, изображенное на рис. 4, длится конечный промежуток времени. Поэтому оно не является периодическим процессом и может быть разложено в интеграл Фурье:

$$E(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty E(\omega)e^{i\omega t}d\omega,$$

где монохроматическая составляющая $E(\omega)$ определяется формулой

$$E(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty E(t)e^{-i\omega t}dt .$$ (15)

Учитывая (14) в (15), получим

$$\begin{array}{l} \displaystyle E(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int\l... ...ystyle2}}^{\displaystyle\tau\over\displaystyle2} }. \end{array}$$ (16)

Производя подстановку границ интегрирования в правой части уравнения (16) с учетом того, что $\tau=\Delta t$, получим

$$\begin{array}{l} E(\omega)=\displaystyle{ \frac{E_0}{2\pi}\cd... ...a_0-\omega){\Delta t\over 2}}{i(\omega_0-\omega)}}. \end{array}$$ (17)

Формулу (17) можно переписать в виде

Рис. 5	Рис. 6

$$E(\omega)=\frac{E_0}{2\pi}\Delta t \frac{\sin \frac{1}{2}(\omega_0-\omega)\Delta t}{\frac{1}{2} (\omega_0-\omega)\Delta t}=A\frac{\sin\eta}{\eta},$$ (18)

где         $A=\frac{E_0}{2\pi}\Delta t$,         $\eta=\frac{1}{2}(\omega_0-\omega)\Delta t$. Тогда

$$I(\omega)\sim\vert E(\omega)\vert^2=A^2\frac{\sin^2\eta}{\eta^2}=... ...1}{2}(\omega_0-\omega)\Delta t}{\frac{1}{2}(\omega_0-\omega)\Delta t}\right]^2.$$ (19)

Функция $F(\eta)=\frac{\displaystyle\sin\eta}{\displaystyle\eta}$ встретится нам при рассмотрении фраунгоферовой дифракции от одной щели. Поэтому более подробно остановимся на свойствах этой функции. Очевидно, $F(\eta)$ обращается в нуль при $\eta=\pm m\pi$, где $m=1,2,3,4,...$. Условия максимума имеют вид $dF(\eta)/d\eta=0$, откуда следует $\tg\eta=\eta$. Решая это трансцендентное уравнение графически (5), получим значения $\eta$, при которых $F(\eta)$ имеет максимумы: $\eta_1=0; \eta_2=1,43\pi; \eta_3=2,46\pi; \eta_4=3,47\pi; \eta_5=4,47\pi$ и т. д.

Подставляя эти значения в (19), легко убедиться, что с увеличением $\eta$ второстепенные максимумы резко уменьшаются (табл. 1).

таблица 1

$\eta$	0	$1,43\pi$	$2,46\pi$	$3,47\pi$
$(\sin\eta/\eta)^2$	1	0,047	0,016	0,008

На основе таких сведений можно построить график зависимости $I(\omega)$, который показан на (6). Как видно, $I(\omega)$ имеет главный максимум при $\omega=\omega_0$, т. е. при частоте квазимонохроматических колебаний. Так как второстепенные максимумы составляют весьма незначительную часть главного, их отношения выражаются как $\left [1:\left(\frac{2}{3\pi}\right)^2:\left(\frac{2}{5\pi}\right)^2:...\right]$, то с погрешностью, меньшей $0,05$, можно считать, что вся интенсивность сосредоточена в интервале $\eta=\pm\pi$, т. е. спектр является сплошным в интервале частот $\Delta\omega=\omega_0-\omega$. Это обстоятельство позволяет связать длительность цуга $\tau_{}$ с эффективным частотным диапазоном $\Delta\omega_{}$ фурье—спектра:

$$\tau=\frac{2\pi}{\Delta\omega}=\frac 1{\Delta\nu}.$$

Отождествив $\tau_{}$ со временем когерентности, придем к соотношению

$$t_{\text{ког}}\sim\frac{1}{\Delta\nu}$$ (20)

(знак $\sim_{}$ означает: ``по порядку величины равно'').

Из соотношения (20) следует, что чем шире интервал частот, представленных в данной световой волне, тем меньше время когерентности этой волны.

Частота связана с длиной волны в вакууме соотношением $\nu={\displaystyle c\over\displaystyle\lambda_0}$. Продифференцировав это соотношение, найдем что $\Delta\nu={\displaystyle c\Delta\lambda_0\over\displaystyle\lambda_0^2}\approx {\displaystyle c\Delta\lambda\over\displaystyle\lambda^2}$ (знак минус, получающийся при дифференцировании, мы опустили, кроме того, положили $\lambda_0\approx\lambda$). Заменив в формуле (20) $\Delta\nu_{}$ его выражением через $\lambda$ и $\Delta\lambda$, получим для времени когерентности выражение

$$t_{\text{ког}}\sim\frac{\lambda^2}{c\Delta\lambda}.$$ (21)

Отсюда для длины когерентности получается следующее значение:

$$l_{\text{ког}}=ct_{\text{ког}}\sim{\lambda^2\over\Delta\lambda}.$$ (22)

Оптическая разность хода, при которой получается максимум $m_{}$—го порядка, определяется соотношением

$$\Delta_m=\pm m\lambda_0\approx\pm m\lambda.$$

Когда эта разность хода достигает значения порядка длины когерентности, полосы становятся неразличимыми. Следовательно, предельный наблюдаемый порядок интерференции определяется условием

$$m_{\text{пред}}\lambda\sim l_{\text{ког}}\sim{\lambda^2\over\Delta\lambda},$$

откуда

$$m_{\text{пред}}\sim{\lambda\over\Delta\lambda}.$$ (23)

Из (23) следует, что число интерференционных полос, наблюдаемых по схеме, изображенной на рис. 6, возрастает при уменьшении интервала длин волн, представленных в используемом свете.

Далее: Пространственная когерентность Вверх: Когерентность Назад: Когерентность