Далее: Импульс электромагнитной Вверх: Энергия, Импульс, Назад: Энергия, Импульс,

Энергия электромагнитной волны

С электромагнитной волной связан перенос энергии. Плотность потока энергии $j$ можно найти с помощью формулы $j=wv$, как произведение плотности энергии $\strut w$ на скорость волны $\strut v$ (см. [ ], гл.1 §1.4).

В обычной изотропной среде с проницаемостями $\strut \varepsilon$ и $\mu$ плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей:

$$\fbox{$\displaystyle{w=\frac{\varepsilon\varepsilon_0 E^2}2+\frac{\mu\mu_0 H^2}2}$.}$$ (20)

В данной среде справедливо соотношение (14) между $\strut E$ и $\strut H$, а это означает, что плотность электрической энергии в бегущей волне равна плотности магнитной энергии. Поэтому (20) можно записать так:

$$w=\varepsilon\varepsilon_0 E^2=\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0} \cdot EH=EH/v,$$ (21)

где $\strut v$ — скорость волны (7).

Умножив $\strut w$ на $\strut v$, получим плотность потока энергии:

$$S=wv=EH.$$ (22)

Векторы $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$ взаимно ортогональны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Значит, направление вектора $[\strut\mathbf{EH}]$ совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен $\strut EH$. Поэтому вектор плотности потока электромагнитной энергии $\strut\mathbf{S}$ можно представить как

$$\fbox{$\strut\mathbf{S}=[\strut\mathbf{EH}]$.}$$ (23)

Вектор $\strut\mathbf{S}$ называют вектором Пойнтинга.

В случае бегущей гармонической электромагнитной волны (16) плотность энергии, согласно (21), равна

$$w=\varepsilon\varepsilon_0 E_m^2 \cos^2(\omega t - kx).$$

Плотность же потока энергии, как следует из (22),

$$S=wv=\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0/\mu\mu_0} \cdot E_m^2 \cos^2(\omega t - kx),$$ (24)

где учтено, что скорость $\strut v$ определяется формулой (7).

Интенсивность $\strut I$ такой волны равна, по определению, среднему значению плотности потока энергии: $I=\left<S\right>$. Принимая во внимание, что при усреднении (24) среднее значение квадрата косинуса равно $\frac{1}{2}$, получим

$$I=\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0/\mu\mu_0} \cdot E_m^2/2.$$ (25)

Обратим внимание, что $\strut I$ пропорционально квадрату амплитуды, $I \sim E_m^2$.

Пример 3.

В вакууме распространяется плоская гармоничская линейно поляризованная электромагнитная волна частоты $\strut \omega$. Интенсивность волны равна $\strut I$. Найдем амплитудное значение плотности тока смещения в этой волне. По определению, плотность тока смещения $j_{\text{см}} =\partial\strut\mathbf{D}/\partial t$, где $\strut\mathbf{D}=\varepsilon_0\strut\mathbf{E}$. Пусть $\strut\mathbf{E}=\strut\mathbf{E}_m \cos (\omega t - kx)$, тогда амплитудное значение плотности тока смещения $j_{\text{см макс}}=\varepsilon_0\omega E$. Остается найти $E_m$. Это делается с помощью формулы (25):

$$E_m=\sqrt{2I\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}},$$

и мы получим из предыдущих двух формул, что

$$j_{\text{см макс}}=\omega\sqrt{2\varepsilon_0 I/c},$$

где $c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$.

В стоячей электромагнитной волне энергия переходит из чисто электрической, имеющей максимумы в пучностях $\strut\mathbf{E}$, в магнитную с максимумами в пучностях вектора $\strut\mathbf{H}$, т. е. смещенным в пространстве на $\lambda/4$. Это аналогично поведению гармонического осциллятора, например математического маятника, где энергия переходит из чисто потенциальной (в крайнем положении) в кинетическую (в положении равновесия), и наоборот.

Отметим, что если волна представляет собой наложение двух бегущих волн со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации (направлением колебаний вектора $\strut\mathbf{E}$), то ее интенсивность независимо от особенностей этих волн будет равна сумме интенсивностей складываемых волн. Действительно, $\strut\mathbf{E}=\strut\mathbf{E}_1+\strut\mathbf{E}_2$, а интенсивность $I \sim \left<E^2\right>=\left<E_1^2+2\strut\mathbf{E}_1\strut\mathbf{E}_2+E_2^2\right>$. Поскольку $\strut\mathbf{E}_1\perp\strut\mathbf{E}_2$, скалярное произведение $\strut\mathbf{E}_1\strut\mathbf{E}_2=0$, и мы имеем $I=I_1+I_2$.

Далее: Импульс электромагнитной Вверх: Энергия, Импульс, Назад: Энергия, Импульс,