Далее: Плоская электромагнитная Вверх: Электромагнитные волны Назад: Электромагнитные волны

Волновое уравнение электромагнитной волны

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно — без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния (возмущение поля) обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называютэлектромагнитными волнами. В вакууме эти волны распространяются со скоростью, равной скорости света $\strut c$.

Рассмотрим однородную нейтральную непроводящую среду с проницаемостями $\strut \varepsilon$ и $\mu$, где

$$\vec B=\mu\mu_0\vec H,\qquad \vec D=\varepsilon\varepsilon_0\vec E. %\eqno (1.1)$$ (1)

Поскольку в данном случае плотности зарядов и токов равны нулю ($\rho=0$ и $j=0$), уравнения Максвелла будут иметь вид:

$$\nabla\times\vec E=-\dot{\bf B},\qquad \nabla\times\vec H=\dot{\bf D},%\eqno (1.2)$$ (2)

$$\nabla\cdot\vec B=0,\qquad \nabla\cdot\vec D=0, %\eqno (\ref{optic_f3})$$ (3)

где уравнения (2) выражают роторы $\vec E$ и $\vec H$, а уравнения (3) — дивергенции ${\bf B}$ и ${\bf D}$. Точка над векторами ${\dot{\bf B}}$ и ${\dot{\bf D}}$ означает частную производную этих величин по времени.

Поскольку любые волновые процессы должны подчиняться волновому уравнению, связывающему вторые производные по времени и координатам, попытаемся получить его с помощью уравнений Максвелла. Для этого продифференцируем второе уравнение из (2) по времени и затем используем первое уравнение:

$$\varepsilon\varepsilon_0\frac{\parti... ...t}=-\frac{1}{\mu\mu_0}\nabla\times(\nabla\times\bf E). %\eqno (\ref{optic_f4})$$ (4)

Двойное векторное произведение в правой части, согласно правилу $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{ac})-\mathbf{c}(\mathbf{ab})$, — "бац минус цаб", можно записать так:

$$\nabla\times(\nabla\times\bf E)=\nabla(\nabla\cdot\bf E)-(\nabla\cdot\nabla)\bf E=-\nabla^2\bf E, %\eqno (1.5)$$ (5)

так как $\nabla\cdot\bf E=0$. Подставив (5) в (4), мы приходим к волновому уравнению для $\bf E$. Аналогично можно получить волновое уравнение и для вектора $\bf H$.

Таким образом, мы приходим в результате к идентичным волновым уравнениям для векторов $\bf E$ и $\bf H$:

$${ \fbox{$\nabla^2\bf E=\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\ddot{\bf ... ...} \atop \fbox{$\nabla^2\bf H=\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\ddot{\bf H}$. } }$$ (6)

Здесь коэффициент перед второй производной по времени есть величина, обратная квадрату скорости $\strut v$ распространения волны,

$$v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}},%\eqno (1.7)$$ (7)

где c - скорость распространения электромагнитной волны в вакууме:

$$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.%\eqno (1.8)$$ (8)

Оказалось, что $c=3\cdot10^8$ м/с, т. е. совпадает со скоростью света в вакууме. Это и дало основание Максвеллу предположить задолго до экспериментального подтверждения, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Далее: Плоская электромагнитная Вверх: Электромагнитные волны Назад: Электромагнитные волны