Далее: Стоячая электромагнитная Вверх: Электромагнитные волны Назад: Волновое уравнение

Плоская электромагнитная волна

Перепишем уравнения Максвелла (1) и (2) в форме более удобной для дальнейшего анализа, имея в виду, что роторы $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$ можно представить в виде определителей (как векторное произведение двух векторов):

$$\vec \nabla\times \vec{E} = \left\vert \begin{array}{@{\extracols... ...ray}\hspace*{-5pt}\right\vert = -\varepsilon\varepsilon_0\dot{\strut\mathbf{E}}$$ (9)

$$\frac{\partial}{\partial x}E_x +\frac{\partial}{\partial y}E_y +\... ...rtial x}H_x +\frac{\partial}{\partial y}H_y +\frac{\partial}{\partial z}H_z =0,$$ (10)

где ${\bf e}_x$, ${\bf e}_y$, ${\bf e}_z$ — орты осей $\strut X, Y, Z$.

Установим основные свойства электромагнитной волны на примере плоской волны. Направим ось $\strut X$ перпендикулярно волновым поверхностям. При этом $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$, а значит и их проекции на оси $\strut Y$ и $\strut Z$, не будут зависеть от координат $y$ и $\strut z$, т. е. соответствующие производные по $y$ и $\strut z$ , будут равны нулю. Пэтому уравнения (9) и (10) упрощаются (останутся только произвоные по $\strut x$) и принимают вид:

$$\begin{array}{rcl} 0&=&\mu\mu_0\dot H_x, -\partial E_z/\par... ...arepsilon_0\dot E_z, \partial H_x/\partial x&=&0. \end{array}$$ (11)

Из условий $\partial E_x/\partial x=0$, и $\dot E_x=0$ следует, что $E_x$ не зависит ни от x, ни от t (аналогично и для $H_x$). Это значит, что отличные от нуля $E_x$ и $H_x$ могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. А для переменного поля плоской волны $E_x=0$ и $H_x=0$, т. е. векторы ${\bf E}$ и ${\bf H}$ перпендикулярны направлению распространения волны-оси $\strut X$. Значит, электромагнитная волна является поперечной.

Кроме того, оказывается, векторы ${\bf E}$ и ${\bf H}$ в электромагнитной волне взаимно ортогональны. Чтобы убедиться в этом, объединим средние уравнения (11), содержащие, например, $E_y$ и $H_z$, в пару:

$$\frac{\partial E_y}{\partial x} = -\mu\mu_0\dot H_z\qquad\frac{\partial H_z}{\partial x} = -\varepsilon\varepsilon_0\dot E_y$$ (12)

(можно было бы взять и другую пару, содержащую производные $E_z$ и $H_y$). Из этих уравнений видно, что изменение во времени, скажем, магнитного поля, направленного вдоль оси $\strut Z$, порождает электрическое поле $E_y$ вдоль оси $\strut Y$. Изменение во времени поля $E_y$ в свою очередь порождает поле $H_z$ и т. д. Ни поля $E_z$, ни поля $H_y$ при этом не возникает. А это и значит, что $\strut\mathbf{E}\bot \strut\mathbf{H}$.

Связь мгновенных значений E и H. В нашем случае, когда плоская волна распространяется вдоль оси $\strut X$, например, в ее положительном направлении,

$$E_y=E_y(t-x/v),\qquad H_z=H_z(t-x/v),$$ (13)

где $E_y$ и $H_z$ — некоторые функции, характеризующие форму волны. Введя обозначение $\varphi=t-x/v$, найдем производные $E_y$ по $\strut x$ и $H_z$ по $\strut t$ — в соответствии с (12):

$$\frac{\partial E_y}{\partial x}=\frac{\partial E_y}{\partial \var... ...ac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{\partial H_z}{\partial \varphi}\cdot 1.$$

Подставив эти выражения в первое уравнение (12), получим:

$$\frac1v\frac{\partial E_y}{\partial \varphi}=\mu\mu_0\frac{\partial H_z}{\partial \varphi},$$

или с учетом того, что $v=1/\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0}$,

$$\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\cdot\frac{\partial E_y}{\partial \varphi}=\sqrt{\mu\mu_0}\cdot\frac{\partial H_z}{\partial \varphi}.$$

Отсюда следует, что $\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\cdot E_y=\sqrt{\mu\mu_0}\cdot H_z+const$, где произвольная константа обусловлена наличием постоянного электрического и магнитного полей. Нас интересует только переменное поле, поэтому $\strut const=0$, в результате мы получим:

$$\fbox{$\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\cdot E_y=\sqrt{\mu\mu_0}\cdot H_z.$}$$ (14)

Это выражение означает, что $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$ не только взаимно ортогональны, но и составляют правовинтовую систему с направлением распространения: мы ведь рассмотрели случай, когда волна распространяется в положительном направлении оси $\strut X$ (рис.1).

Кроме того, $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$, согласно (14), изменяются при этом синфазно: $E_y$ и $H_z$ одинаковы в каждый момент по знаку, одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимума, что и показано на рис.2 — мгновенная картина в некоторый момент.

Рис. 1		Рис. 2

Заметим, что если бы мы рассмотрели волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси $\strut X$, то $E_y$ и $H_z$ изменялись бы в противофазе ( $\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\cdot E_y =-\sqrt{\mu\mu_0}\cdot H_z$). Однако по-прежнему оба вектора, $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$, составляли бы правовинтовую систему с направлением распространения. Это же относится и к случаю, когда $\strut\mathbf{E}$ направлен вдоль оси $\strut Z$, а $\strut\mathbf{H}$ — вдоль оси $\strut Y$, т. е. их проекции $E_z$ и $H_y$.

Выяснив эти детали, индексы $\strut Y$ и $\strut z$ у проекций векторов $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$ можно не писать (как это обычно и делают). Поэтому уравнение, например, плоской бегущей гармонической волны — она представляет особый интерес — записывают так:

$$E=E_m\cos(\omega t - kx),\qquad H=H_m\cos(\omega t - kx),$$ (15)

где знак минус в скобках означает, что волна распространяется в положительном направлении оси X. В этих выражениях $\strut \omega$ — круговая (циклическая) частота колебаний, $k$ — волновое число ( $k=2\pi/\lambda,$ $\lambda$ — длина волны).

Заметим, что когда говорят, что плоская волна распространяется,например, в положительном направлении оси $\strut X$, то это означает, что с этим направлением совпадает ее волновой вектор $\strut\mathbf{k}$ или, другими словами, ее волновые поверхности ортогональны оси $\strut X$. Но при этом колебания распространяются очевидно и в других направлениях.

Пример 1.

Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в вакууме так, что ее волновой вектор $\strut\mathbf{k}$ перпендикулярен оси $\strut Z$ и составляет угол $\alpha=60^\circ$ с ортом оси $\strut X$. Найдем скорость распространения колебаний вдоль оси $\strut X$.

Изобразив рисунок, аналогичный рис. 1, найдем, что искомая скорость $v=c/\cos\alpha=2c!$ Полученный результат не противоречит теории относительности: фазовая скорость может быть любой, в отличие от скорости сигнала, которая не может быть больше $\strut c$ — скорости света в вакууме.

Теперь рассмотрим пример, относящийся к формуле (14) — тоже на связь амплитуд электрической и магнитной составляющих волны, но не в скалярном, а в векторном виде.

Пример 2.

В вакууме распространяется гармоническая плоская электромагнитная волна, электрическая составляющая которой имеет вид

$${\bf E}={\bf e}_zE_m cos (\omega t-{\bf kr}).$$

Найдем вектор — амплитуду магнитной составляющей этой волны ${\bf H}_m$. Видно, что данная волна распространяется в направлении вектора $\strut\mathbf{k}$. Значит, три вектора, $\strut\mathbf{E}$, $\strut\mathbf{H}$, $\strut\mathbf{k}$ должны составлять правовинтовую систему (см. рис. 1). Отсюда следует, что вектор $\strut\mathbf{H}$ должен быть сонаправлен с вектором $[\strut\mathbf{kE}]$, направление которого совпадает с ортом $[{\bf n}_k{\bf e}_z]$, где орт ${\bf n}_k={\bf k}/k.$ Остается найти модуль вектора $\strut\mathbf{H}$, т. е. воспользоваться формулой (14): $H_m=\sqrt{\varepsilon_0/\mu_0} \cdot E_m$. В результате получим:

$${\bf H}=[{\bf n}_k {\bf e}_z]\sqrt{\varepsilon_0/\mu_0} \cdot E_m.$$

Далее: Стоячая электромагнитная Вверх: Электромагнитные волны Назад: Волновое уравнение