Далее: Энергия, Импульс, Вверх: Электромагнитные волны Назад: Плоская электромагнитная

Стоячая электромагнитная волна

В механике (см.[3] ч.1, гл.7, п.7.6) было показано, что стоячую упругую волну можно представить как результат суперпозиции двух одинаковых волн, бегущих навстречу друг другу. Это относится и к электромагнитным волнам. Однако надо учесть, что электромагнитная волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно ортогональными векторами $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$.

Рис. 3

Пусть волна распространяется в положительном направлении оси $\strut X$ и описывается уравнениями

$$E_y=E_m \cos(\omega t - kx),\qquad H_z=H_m \cos(\omega t - kx)$$ (16)

Уравнения волны, распространяющейся в обратном направлении, можно получить из (16), если заменить в скобках минусы на плюсы и учесть, что векторы $\strut\mathbf{E}$, $\strut\mathbf{H}$, $k$ должны составлять правую тройку. Это поясняет рис. 3, где слева (a) $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$ меняются в фазе — волна (16), а справа $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$ — в противофазе (во встречной волне). Последнее означает, что перед $E_m$ или $H_m$ должен появиться знак минус. Итак, уравнения встречной волны будут иметь вид:

$$E_y=E_m \cos(\omega t + kx),\qquad H_z=-H_m \cos(\omega t + kx).$$ (17)

В результате суперпозиции этих двух встречных волн, (16 и (17), получим

$$E_y=2E_m\cos kx\cdot\cos\omega t,\qquad H_z=2H_m\sin kx\cdot\sin\omega t.$$ (18)

Рис. 4

Это и есть уравнения стоячей электромагнитной волны. Они состоят из двух стоячих волн — электрической и магнитной. Видно, что в этой волне колебания векторов $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$ сдвинуты по фазе на $\pi/2$ как в пространстве, так и во времени. Если в некоторый момент $E_y$ во всех точках имело максимальное значение и при этом $H_z =0$, то через четверть периода картина будет обратной: $H_z$ достигнет всюду максимальных значений со сдвигом в пространстве на $\lambda/4$, а $E_y$ обратится в нуль. Таким образом, в процессе колебаний электрическое поле постепенно переходит в магнитное, магнитное — в электрическое и т. д. (рис. 4). Поскольку колебания векторов $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$ происходят не в фазе, соотношение (14) оказывается справедливым только для амплитудных значений $E_m$ и $H_m$ стоячей волны:

$$E_m\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}=H_m\sqrt{\mu\mu_0}.$$ (19)

Далее: Энергия, Импульс, Вверх: Электромагнитные волны Назад: Плоская электромагнитная