Далее: Лекция 6. Вверх: Лекция 5. Назад: Геометрическая оптика

Принцип Ферма

Этот принцип также может быть положен в основу геометрической оптики (вместо перечисленных выше трех законов). Он утверждает, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время. Точнее, это время должно быть экстремальным, т. е. либо минимальным, либо максимальным, либо стационарным — одинаковым для всех возможных путей. В последнем случае все пути света между двумя точками оказываются таутохронными (требующими для своего прохождения одинакового времени).

Рис. 9

Участок пути $ds$ (рис. 9) свет проходит за время $dt = {\displaystyle ds\over\displaystyle v}$, где $v_{}$ — скорость света в данном месте. Так как $v = {\displaystyle c\over\displaystyle n}$, то $dt = {\displaystyle nds\over\displaystyle c}$, и время $\tau_{}$ для прохождения светом пути $1\to 2_{}$ равно

$$\tau = {1\over c}\int\limits_1^2 nds = {L\over c} ,$$ (47)

где $L_{}$ называют оптической длиной пути. В однородной среде $L=ns_{}$.

Из принципа Ферма действительно следуют все три закона геометрической оптики. Доказательство, например, закона преломления см. в задаче 3.2.

Для дальнейшего нас будет интересовать только одно следствие принципа Ферма, а именно принцип действия линзы — она будет неоднократно использоваться в установках при наблюдении дифракции (Фраунгофера). Можно показать, что линза (как и любой оптический прибор) является системой таутохронной: все оптические пути от источника до его изображения одинаковы. Именно поэтому все колебания приходят в одной фазе, усиливая друг друга, и возникает изображение. Если бы это было не так, изображения мы бы не получили.

Напомним свойства тонкой линзы, необходимые для дальнейшего³.

1. Формула тонкой линзы в воздухе:

$${1\over s'} - {1\over s} = {1\over f'},\qquad {1\over f'} = (n-1)\left({1\over R_1}-{1\over R_2}\right) ,$$ (48)

где $s_{}$ и $s'$ — расстояния от линзы до источника $S_{}$ и его изображения $S'$, $f$ — заднее фокусное расстояние (от линзы до заднего фокуса $F'$).

Здесь принято следующее правило знаков: отрезки, отсчитываемые от линзы против хода лучей, т. е. влево на рис. 5, считаются отрицательными, а по ходу лучей (вправо от линзы) — положительными. На рисунке показан случай, когда $s'>0$, a $s< 0$. Это относится и к радиусам кривизны поверхностей линзы, $R_1$ и $R_2$, — передней и задней. Для линзы, изображенной на рисунке, $R_1>0$, а $R_2<0$.

Рис. 10

Таким образом, все величины (кроме $n_{}$), фигурирующие в формуле (48), алгебраические. Это во многих случаях очень удобно, поскольку значительно упрощает анализ результатов расчета: если, например, окажется, что $s' <0$, то это сразу говорит о том, что изображение оказывается слева от линзы, т. е. мнимое и т. п.

Величину ${\displaystyle 1\over\displaystyle f}$ в формуле (48) называют оптической силой линзы $\Phi_{}$, дптр (1 дптр = 1/м). Оптическая сила не зависит от направления хода лучей: слева — направо или наоборот. Линза с $\Phi > 0$ является собирающей, а с $\Phi < 0$ — рассеивающей.

Заметим, что если бы линза находилась в среде, показатель преломления которой был бы разным, например, слева $n_{}$, а справа $n'$ то переднее и заднее фокусные расстояния были бы не одинаковы. Их отношение определялось бы формулой

$${f'\over f} = -{n'\over n } .$$ (49)

Знак минус показывает, что оба фокуса, передний $F_{}$ и задний $F'$, всегда находятся по разные стороны от линзы. Следует также иметь в виду, что при $n'\ne n$ центр линзы оказывается не оптическим центром: луч, проходящий через него, будет испытывать преломление.

2. При падении на линзу пучка параллельных лучей под углом к главной оптической оси (на которой находятся центры кривизны поверхностей линзы, а также фокусы $F_{}$ и $F'$) изображение — точка $S'$ — образуется в задней фокальной плоскости линзы (рис. 11). И главное: оптические пути всех лучей от плоскости $TT'$ перпендикулярной падающей пучку, до изображения $S'$ будут одинаковы в силу таутохронности. Это мы будем использовать в дальнейшем неоднократно.

Рис. 11	Рис. 12

3. При поступательном смещении параллельного пучка лучей положение точки их схождения $S'$ в фокальной плоскости не меняется. Т.е. при смещении, например, отверстия из положения 1 в положение 2 (рис. 12) изображение — точка $S'$ — будет оставаться на прежнем месте. Это мы будем учитывать при изучении действия дифракционной решетки ([2], §5.7).

4. Линейное или поперечное увеличение линзы $\beta = {y'\over y}$, где $y'$ и $y$ — поперечные размеры изображения и самого предмета (см. рис. 5). Легко видеть, что

$$\beta= {s'\over s} .$$ (50)

На рис. 5 величины $y'$ и $s_{}$ отрицательные, следовательно и $\beta < 0$. Это означает, что изображение перевернутое (относительно предмета).

И последнее. Рассмотрение многих вопросов значительно упрощается, если вместо пути луча $s_{}$ и длины волны $\lambda'$ в данной среде использовать понятие оптической длины $L_{}$ пути и длины волны $\lambda$ в вакууме. Для монохроматической волны на пути $\lambda'$ возникает отставание по фазе на $2\pi_{}$, а на пути $s_{}$ — на $\delta$. Отсюда, учитывая, что $\lambda' = {\lambda\over n}$ и $sn = L_{}$, получим

$$\delta = {2\pi L\over\lambda} ,$$ (51)

где $\lambda$ — отставание по фазе на оптическом пути $L_{}$. Этими соображениями мы и будем пользоваться в дальнейшем, когда пойдет речь о связи разности фаз с оптической разностью хода $\Delta_{}$. И в этом случае

$$\delta= {2\pi\Delta\over\lambda}.$$ (52)

Далее: Лекция 6. Вверх: Лекция 5. Назад: Геометрическая оптика