Далее: Задача 3. Вверх: Лекция 6. Назад: Задача 1.

Задача 2.

Принцип Ферма. Вывести с помощью этого принципа закон преломления света на границе раздела двух прозрачных диэлектриков с показателями преломления $n_1$ и $n_2$.

Решение

Найдем точку $C_{}$ (рис.14), в которой должен преломиться луч, распространяясь от $\strut A$ к $\strut B$, чтобы оптическая длина пути $L_{}$ была экстремальной. Пусть отрезок $A'B' = b$, тогда, как видно из рисунка,

$$L = n_1s_1 + n_2s_2 = n_1\sqrt{a^2_1+ x_1^2} + n_2\sqrt{a^2_2 + (b - x)^2} .$$

Продифференцируем это выражение по $\strut X$ и приравняем производную нулю:

$${dL\over dx}={n_1x\over \sqrt{a_1^2+x^2}}-{n_2(b - x)\over\sqrt{a_2^2+(b-x)^2}}=n_1{x\over s_1}-n_2{b - x\over s_2}= 0.$$

Множители при $n_1$ и $n_2$ равны соответственно $\sin\vartheta_1$ и $\sin\vartheta_2$. Таким образом, получаем

$$n_1\sin\vartheta_1 = n_2\sin\vartheta_2 ,$$

что и требовалось.

Далее: Задача 3. Вверх: Лекция 6. Назад: Задача 1.