Далее: Групповая скорость Вверх: Лекция 17. Назад: Дисперсия света

Классическая теория дисперсии

Дисперсию света можно объяснить на основе электромагнитной теории и электронной теории вещества. Строго говоря, движение (точнее — поведение) электронов в атоме подчиняется законам квантовой физики. Однако для качественного понимания дисперсии света достаточно ограничиться классическими представлениями, которые, как это ни удивительно, приводят к тем же результатам, что и квантовая теория.

Итак, поставим перед собой задачу объяснить ход зависимости $n(\omega)$. Мы знаем, что в изотропной немагнитной среде $n=\sqrt{\varepsilon}$. В свою очередь $\varepsilon_{}$ можно найти из соотношения $\varepsilon = 1 + \kappa$, где $\kappa_{}$ — диэлектрическая восприимчивость, которая является коэффициентом в соотношении $\mathbf{P} = \kappa \varepsilon_0 \mathbf{E}$, $\mathbf{P}$ — поляризованность, т. е. дипольный момент единицы объема. Таким образом,

$$\varepsilon=1+\frac{P_x (t)}{\varepsilon_0 E_x (t)}.$$ (17)

где $P_x$ — проекция вектора $\mathbf{P}$ на ось $X_{}$, вдоль которой совершаются колебания вектора $\mathbf{E}$.

Известно, что $P_x = n_0 p_x$, где $n_0$ — концентрация диполей, $p_x$ — проекция дипольного момента отдельного диполя. В дальнейшем мы будем рассматривать простейшую модель вещества, состоящего из не взаимодействующих друг с другом атомов. Каждый атом представляет собой ядро, окруженное быстро движущимися электронами, которые в совокупности как бы «размазаны» по сферической симметричной области вокруг ядра. Поэтому принято говорить, что ядро с зарядом $q$ окружено «электронным облаком» с зарядом $-q$.

В отсутствие внешнего поля $\mathbf{E}$ центр электронного облака совпадает с ядром, и дипольный момент атома равен нулю. При наличии же внешнего поля $\mathbf{E}$ электронное облако смещается отнсительно практически неподвижного ядра, и возникает дипольный момент $\mathbf{p} = q$$\ell$, где $q > 0$, а $\ell$ — вектор, проведенный из центра «облака» к ядру. Проекция вектора $\mathbf{p}$ на ось $X_{}$ равна

$$p_x=q\ell_x=q(-x)=-qx ,$$ (18)

здесь $X_{}$ — смещение центра «облака» из положения равновесия, т.е. относительно ядра. Заметим, что центр «облака» ведет себя как точечный заряд $-q$.

С учетом (18) выражение (17) можно представить так:

$$\varepsilon=1+\frac{n_0 (-qx)}{\varepsilon_0 E_x} .$$ (19)

Как видно, задача сводится к определению $x(t)$ под действием $E_x(t)$.

Для этого запишем уравнение движения электронного облака как

$$m\ddot x = -kx - r\dot x + qE_m\cos\omega t,$$ (20)

где $m_{}$ — масса электронного облака, а справа записаны проекции на ось $X_{}$ квазиупругой силы, силы «сопротивления», обусловленной чем-то вроде «трения» облака о ядро, и вынуждающей силы со стороны гармонической электромагнитной волны частоты $\omega_{}$. Магнитной составляющей этой силы мы пренебрегаем, поскольку в нерелятивистском случае она ничтожно мала. Разделив уравнение (21) на $m_{}$, приведем его к виду

$$\ddot x+2\beta\dot x+\omega^2x=f_m\cos\omega t,$$ (21)

где $\omega^2_0 = {\displaystyle k\over\displaystyle m}$, $2\beta = {\displaystyle r\over\displaystyle m}$, $f_m = {\displaystyle qE_m\over\displaystyle m}$.

Для теории дисперсии имеет значение не общее, а только частное (установившееся) решение уравнения (21):

$$x=a\cos(\omega t-\varphi),$$ (22)

где $a_{}$ — амплитуда колебаний, $\varphi$ — разность фаз между смещением $X_{}$ и «силой» $f_m \cos\omega t$. Подстановка этого решения в уравнение (21) позволяет с помощью векторной диаграммы найти значения амплитуды $a_{}$ и разности фаз $\varphi$, а именно

$$a=\frac{f_m}{\sqrt{(\omega^2_0-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}},\qquad \tg\varphi=\frac{2\beta\omega}{\omega^2_0-\omega^2}$$ (23)

(решение уравнения (21) подробно рассматривается в теории колебаний).

Ограничимся простейшим случаем, когда $2\beta\omega\ll (\omega^2_0 - \omega^2)$, т. е. когда вынуждающая частота (поля) не очень близка к собственной частоте $\omega_0$ колебаний электронного облака и коэффициент $\beta$, характеризующий затухание, достаточно мал. В этом случае, если $\omega<\omega_0$, то

$$x(t)=\frac{f_m}{\omega^2_0-\omega^2}\cos\omega t .$$ (24)

Такой же результат будет и при $\omega > \omega_0$, когда $\varphi = \pi$.

Остается подставить (24) в (19) и учесть, что вынуждающая сила в (21) $qE_m\cos\omega t= -qE_x$. В результате получим:

$$\fbox{$\varepsilon=1+\frac{\displaystyle b}{\displaystyle \omega^2_0-\omega^2}$} ,$$ (25)

где $b={\displaystyle n_0 q^2 \over\displaystyle \varepsilon_0 m} = {\displaystyle N_0 e^2 \over\displaystyle \varepsilon_0 m_e}$, $N_0$ — концентрация электронов (здесь учтено, что $q = Ze$, $m = Zm_e$ и $N_0 = Zn_0$, $Z_{}$ — число электронов в атоме).

Разрыв функции $\varepsilon(\omega)$ при $\omega = \omega_0$ и обращение ее в $\pm\infty$ не имеют физического смысла, это получилось вследствие игнорирования затухания ( $\beta \to 0$). Если же его учесть, то ход кривой будет иным (рис.14) и достаточно хорошо подтверждается экспериментально (сравните с рис.13). Зависимость $\kappa(\omega)$ характеризует полосу поглощения. Как раз с ней совпадает область аномальной дисперсии $\left({\displaystyle dn\over\displaystyle d\omega} < 0\right)$.

Рис. 14

Заметим, что собственных частот $\omega_{0i}$ может быть несколько в атоме, соответственно будет и несколько областей аномальной дисперсии. Кроме того, как видно из рис.14, при $\omega > \omega_0$ показатель преломления ( $n=\sqrt{\varepsilon}$) будет меньше единицы, а это значит, что фазовая скорость электромагнитной волны $v = {\displaystyle c\over\displaystyle n}$ оказывается больше $c_{}$! Подобное имеет место в плазме, где $\omega_0 = 0$ (электроны свободные), и для рентгеновского излучения ( $\omega\gg\omega_0$). Никакого противоречия с теорией относительности здесь нет. Последняя утверждает, что скорость сигнала (импульса) не может превышать $c_{}$. Понятие же показателя преломления применимо к монохроматическим электромагнитным волнам, бесконечным в пространстве и во времени. Такие волны не могут служить для передачи сигнала, а кроме того, их в принципе невозможно осуществить.

Из выражения (25) вытекает и еще одно неожиданное следствие для случая, когда $\omega_0 = 0$ (например, в той же плазме). При этом условии, когда частота электромагнитной волны $\omega \le\sqrt{b}$, оказывается, что диэлектрическая проницаемость $\varepsilon(\omega)\le 0$, а следовательно, показатель преломления для таких частот ( $n=\sqrt{\varepsilon}$) становится мнимым, и его можно представить как $n= i\kappa$. Выясним, что это означает.

Запишем уравнение электромагнитной волны в комплексной форме:

$$\hat E=E_0e^{i(kx-\omega t)} ,$$

где $k = {\displaystyle 2\pi\over\displaystyle\lambda}$, $\lambda$ — длина волны в среде. Если длина волны в вакууме $\lambda_0$, то $\lambda = {\displaystyle\lambda_0\over\displaystyle n}$, и

$$k = \frac{2\pi}{\lambda_0}n = ik_0\kappa,$$

где $k_0 = {\displaystyle2\pi\over\displaystyle\lambda_0}$. Подставив это выражение для $K_{}$ в исходное уравнение волны $\hat E(x,t)$, получим:

$$\hat E = E_0e^{-\kappa k_0 x}e^{-i\omega t} ,$$

или для действительной части

$$E=E_0e^{-\kappa k_0 x} \cos\omega t .$$

Видно, что в рассматриваемом случае мы имеем стоячую волну, амплитуда которой экспоненциально затухает⁴. Фактически это означает, что излучение при $\varepsilon < 0$ не может пройти через плазму и происходит полное отражение его в пограничном слое. На этом, кстати, основан метод определения концентрации электронов в плазме.

Пример.

При зондировании разреженной плазмы радиоволнами различных частот обнаружили, что радиоволны с частотами, меньшими, чем $\nu_0 = 400$ МГц не проходят через плазму. Найдем концентрацию свободных электронов в этой плазме. Радиоволны не проходят через плазму, а отражаются от нее, как мы выяснили, при мнимом показателе преломления, т. е. при значении диэлектрической проницаемости $\varepsilon\ll 0$. Имея в виду (25) и учитывая, что для свободных электронов $\omega_0 = 0$, получим:

$$\varepsilon(\omega)=1-\frac{N_0e^2}{\varepsilon_0m_e\omega^2}\le 0.$$

Отсюда находим искомую концентрацию свободных электронов:

$$N_0 = {\varepsilon_0m_e\omega^2\over e^2} = {4\pi^2\varepsilon_0 m_e\nu^2\over e^2} = 2,0\cdot10^9 \text {см}^{-3}.$$

Далее: Групповая скорость Вверх: Лекция 17. Назад: Дисперсия света