Далее: Поглощение света Вверх: Лекция 17. Назад: Классическая теория

Групповая скорость

Волновой пакет. Строго монохроматическая волна — это идеализация. Таких волн в природе нет. Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами $\omega_{}$ в некотором интервале $\Delta\omega_{}$. Суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по частотам ( $\Delta\omega\ll\omega$), называют волновым пакетом или группой волн. Вид волнового пакета в некоторый момент времени показан на рис.15.

Рис. 15

В его пределах монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета практически гасят друг друга.

В вакууме все монохроматические волны, образующие пакет, распространяются, как уже было сказано выше, с одинаковой фазовой скоростью

$$v={\omega\over k},$$ (26)

где $K_{}$ — волновое число $\left(\displaystyle2\pi\over\displaystyle\lambda\right)$. С такой же скоростью распространяется в вакууме и сам волновой пакет, не изменяя своей формы.

Групповая скорость. В диспергирующей же среде волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга, и понятие скорости такой волны требует уточнения.

Если дисперсия достаточно мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. В этом случае волновому пакету можно приписать скорость $u_{}$, с которой перемещается его «центр тяжести». Это так называемая групповая скорость. Соответствующий расчет дает, что групповая скорость определяется как

$$\fbox{$ u = {\displaystyle d\omega\over\displaystyle dk}$}.$$ (27)

Поясним эту формулу на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и несколько отличными друг от друга длинами волн (и частотами).

Рис. 16

На рис.16а показано их относительное расположение в некоторый момент времени, а на рис.16б — результат их суперпозиции. Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с максимальной амплитудой — это и будет скорость волнового пакета — групповая скорость. Определим ее величину.

Пусть уравнения этих двух монохроматических волн имеют вид:

$$E_1 = A\cos(\omega t - kx) ,\qquad E_2 = A\cos [(\omega + d\omega) t - (k + dk) x] .$$

В результате их наложения образуется суммарная волна

$$E=E_1 + E_2 =2A\cos\frac{td\omega-xdk}{2}\cos(\omega t-kx).$$ (28)

Это выражение можно рассматривать как уравнение монохроматической волны, амплитуда которой меняется по закону

$$A_0=\left\vert 2A\cos\frac{td\omega-xdk}{2}\right\vert.$$

Отсюда следует, что точки, соответствующие, например, максимуму амплитуды, движутся по закону

$$td\omega-xdk=0,$$

откуда $x = \left({\displaystyle d\omega\over\displaystyle dk}\right)t$. Величина в скобках и есть групповая скорость (27).

Выражение для групповой скорости можно представить в ином виде. Заменив $\omega_{}$ через $vk$ согласно (26), получим:

$$u=\frac{d}{dk}(vk)=v+k\frac{dv}{dk} .$$ (29)

Так как $k = {\displaystyle 2\pi\over\displaystyle\lambda}$ и $dk = - \left({\displaystyle2\pi\over\displaystyle\lambda^2}\right)d\lambda$, то выражение (29) можно переписать так:

$$\fbox{$ u=v-\lambda\frac{\displaystyle dv}{\displaystyle d\lambda} $}$$ (30)

Это так называемая формула Рэлея. В области нормальной дисперсии $\left({\displaystyle dv\over\displaystyle d\lambda}>0\right)$ групповая скорость $u_{}$ оказывается меньше фазовой скорости $v_{}$. В отсутствие дисперсии ${\displaystyle dv\over\displaystyle d\lambda} = 0$, и групповая скорость совпадает с фазовой (об этом уже говорилось).

Существует простой графический способ нахождения групповой скорости по кривой $v(\lambda)$. Он показан на рис. 17.

Рис. 17

В случае группы волн роль играет только малый участок кривой $v(\lambda)$ в узком диапазоне $\Delta\lambda(\Delta\lambda\ll\lambda)$. Отрезок, который отсекает на оси ординат касательная к кривой $v(\lambda)$, проведенная через точку $A_{}$, равен $v-\lambda\left({\displaystyle dv\over\displaystyle d\lambda}\right)$, т. е. групповой скорости при данной длине волны $\lambda$.

3.25 em

Пример.

Найдем выражение для групповой скорости в среде с известной зависимостью показателя преломления от частоты электромагнитной волны, $n(\omega)$.

Будем исходить из определения групповой скорости — формулы (27). Принимая во внимание, что фазовая скорость $v = {\displaystyle\omega\over\displaystyle k} = {\displaystyle c\over\displaystyle n}$, получим

$$k={\omega n\over c} .$$

Теперь возьмем производную $$dk\over\displaystyle d\omega$$:

$$\frac{dk}{d\omega}=\frac{d}{d\omega}\left(\frac{\omega n}{c}\right)=\frac{1}{c}\left(n+\omega\frac{dn}{d\omega}\right).$$

Подстановка обратного значения этой величины, т. е. $$d\omega\over\displaystyle dk$$, в (27) приводит к искомому результату:

$$u=\frac{d\omega}{dk}=\frac{c}{n+\omega\left({\displaystyle dn\over\displaystyle d\omega}\right)} .$$

В некоторых случаях групповая скорость, вычисленная по приведенным выше формулам, оказывается больше $c_{}$ — скорости света в вакууме. Так будет, например, в области аномальной дисперсии. Это не противоречит теории относительности, ибо групповая скорость выражает скорость сигнала лишь тогда, когда волновой импульс в процессе распространения практически не изменяет своей формы. В области же аномальной дисперсии импульс сильно деформируется, и групповая скорость в таких условиях утрачивает определенное физическое содержание.

Групповая скорость и перенос энергии. Рассмотрим вопрос о скорости распространения энергии, переносимой электромагнитной волной. Прежде всего заметим, что фазовая скорость монохроматической волны не имеет ничего общего со скоростью переноса энергии. Фазовая скорость устанавливает только связь между фазами колебаний в различных точках пространства.

Строго монохроматическая волна не может служить для передачи сигнала, поскольку она не имеет ни начала, ни конца во времени и пространстве. Поэтому распространение сигнала связано с перемещением изменений амплитуды. И в тех случаях, когда групповая скорость имеет смысл (т. е. электромагнитный импульс распространяется не расплываясь), она совпадает со скоростью переноса энергии.

Итак, в области, далекой от области сильного поглощения, скорость переноса энергии в группе волн совпадает с групповой скоростью.

Прямые измерения скорости света сводятся к измерению расстояния, проходимого световым сигналом (импульсом) за определенный промежуток времени. Этот метод практически дает групповую скорость. То же самое, как показывает подробный анализ, относится ко всем известным косвенным методам измерения скорости света. Фазовую же скорость (точнее, отношение фазовых скоростей в двух различных средах) можно определить по отношению показателей преломления, или воспользовавшись законом преломления.

Далее: Поглощение света Вверх: Лекция 17. Назад: Классическая теория