Далее: Коэффициенты отражения Вверх: Лекция 4 Назад: Формулы Френеля

Электромагнитная волна на границе раздела

Соотношения между амплитудами и фазами

Выясним, что происходит при падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух однородных изотропных прозрачных диэлектриков, магнитная проницаемость которых равна единице ($\mu=1$). Известно, что при этом возникают отраженная и преломленная волны. Ограничимся рассмотрением частного, но практически важного случая, когда волна падает нормально на границу раздела диэлектриков с показателями преломления $n_1$ и $n_2$.

Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через $\mathbf{E}$, $\mathbf{E}'$ и $\mathbf{E}''$, а магнитную составляющую — через $\mathbf{H}$, $\mathbf{H}'$ и $\mathbf{H}''$. Из соображений симметрии ясно, что колебания векторов $\mathbf{E}$, $\mathbf{E}'$ и $\mathbf{E}''$ происходят в одной плоскости. Это же относится и к векторам $\strut H$, $H'$ и $H''$. На рис. 6 показаны относительное расположение этих векторов в непосредственной близости от границы раздела и направления распространения всех трех волн, обозначенные векторами $\mathbf{k}$, $\mathbf{k}'$ и $\mathbf{k}''$. Дальнейший расчет покажет, насколько эта картина соответствует действительности.

Рис. 6

Воспользуемся граничными условиями для тангенциальных составляющих векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$:

$$E_{1y}=E_{2y},\quad H_{1z} = H_{2z} .$$ (30)

Перепишем эти условия для нашего случая:

$$E_y + E'_y = {E''_y}$$ (31)

$$H_z + H'_z = {H''_z}$$ (32)

Согласно $\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\cdot E_y=\sqrt{\mu\mu_0}\cdot H_z$ (см. Лекция 1, формула 14), $H_z \sim \sqrt{\varepsilon}E_y = n_1E_y$, ${H''}_z \sim n_2{E''}_y$, но ${H'}_z \sim -n_1{E'}_y$ поскольку проекции ${E'}_y$ и ${H'}_z$ в отраженной волне имеют противоположные знаки (см. рис. 6). Поэтому равенство (32) можно переписать так: $n_1E_y-n_1{E'}_y = n_2{E''}_y$, или

$$E_{y} - {E'}_y = \left({n_2\over n_1}\right){E''}_y .$$ (33)

Решив совместно уравнения (31) и (33), получим выражения для ${E'}_y$ и ${E''}_y$ через $E_y$, которые в векторной форме имеют вид:

$$\mathbf{E}' = {n_1-n_2\over n_1+n_2}\mathbf{E},\qquad \mathbf{E''} = {2n_1\over n_1+n_2}\mathbf{E} .$$ (34)

Отсюда следует, что:

1. Вектор $\mathbf{E''}$ всегда сонаправлен с вектором $\mathbf{E}$, т. е, оба вектора колеблются синфазно — при прохождении волны через границу раздела фаза не претерпевает скачка.

2. Это же относится и к векторам $\mathbf{E'}$ и $\mathbf{E}$, но при условии, что $n_1>n_2$, т. е. если волна переходит в оптически менее плотную среду. В случае же, когда $n_1<n_2$, дробь в выражении (34) для $\mathbf{E}$ оказывается отрицательной, а это означает, что направление вектора $\mathbf{E'}$ противоположно направлению вектора $\mathbf{E}$, т. е. колебания вектора $\mathbf{E'}$ происходят в противофазе с колебаниями вектора $\mathbf{E}$ (этому соответствует рис. 6). Другими словами, при отражении волны от оптически более плотной среды ее фаза изменяется скачком на $\strut\pi$.

Эти результаты мы будем использовать в дальнейшем при изучении интерференции волн, отраженных от обеих поверхностей тонких пластинок.

Далее: Коэффициенты отражения Вверх: Лекция 4 Назад: Формулы Френеля