Далее: Вывод законов Вверх: Лекция 4 Назад: Волновой вектор

Электромагнитная волна на границе двух диэлектриков

Путь плоская электромагнитная волна (8) падает на плоскую, бесконечно простирающуюся границу раздела двух однородных изотропных прозрачных диэлектриков. Так как для всех прозрачных в видимой области тел $\mu \approx 1$, то имеем $n=\sqrt{\varepsilon\mu}=\sqrt{\varepsilon}$.

Рис. 3

Направим ось $\strut OZ$ перпендикулярно плоскости раздела по направлению ко второй среде. Ось $\strut OY$ проведем перпендикулярно падающему лучу и в направлении к наблюдателю (рис.3) вдоль границы раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$. Согласно граничным условиям, тангенциальные компоненты электрического и магнитного векторов остаются постоянными во всех точках границы раздела для любого момента времени, т. е.

$$\left.\begin{array}{rcl} E_{1\tau}=E_{2\tau}, H_{1\tau}=H_{2\tau}. \end{array} \right\}$$ (13)

Из условия (13) вытекает наличие поля во второй среде, если на плоскость раздела из первой среды падает электромагнитная волна. Удовлетворить двум условиям, предполагая наличие только одной плоской волны, невозможно, так как равенства

$$\left.\begin{array}{rcl} H_{1\tau}=\sqrt{\varepsilon_1} E_{1\tau}, [2pt] H_{2\tau}=\sqrt{\varepsilon_2} E_{2\tau} \end{array} \right\}$$ (14)

одновременно можно удовлетворить только при $\varepsilon_1=\varepsilon_2$, что тривиально. Поэтому для решения задачи нужно предположить существование кроме падающей плоской волны еще, по крайней мере, двух плоских волн — отраженной и преломленной. Определим направление распространения падающей волны с помощью волнового вектора $\vec k$, отраженной волны с помощью вектора $\vec k'$ и, наконец, преломленной волны с помощью вектора $\vec k''$. Учитывая это, для электрических векторов соответствующих волн имеем:

$$\left.\begin{array}{rcl} \vec E&=&\vec E_0e^{i (\omega t-\vec k\c... ... E''&=&\vec E''_0e^{i (\omega'' t-\vec k''\cdot\vec r)}. \end{array} \right\}$$ (15)

Учитывая (15) в (13), получим

$$E_{0\tau}e^{i (\omega t-\vec k\cdot\vec r)}+E'_{0\tau}e^{i (\omega' t-\vec k'\cdot\vec r)}=E''_{0\tau}e^{i (\omega'' t-\vec k''\cdot\vec r)}.$$ (16)

Легко доказать, что условие (16) удовлетворяется при любом $\strut t$ и в любых точках плоскости раздела, если

$$\left.\begin{array}{rclcl} \omega=\omega'=\omega'', [3pt] k_x=k'_x=k''_x, [3pt] k_y=k'_y=k''_y. \end{array} \right\}$$ (17)

Для доказательства (17) граничное условие (16) перепишем в следующем виде:

$$Ae^{i\omega t}+Be^{i\omega' t}=Ce^{i\omega'' t},$$ (18)

где $\strut A$, $\strut B$ и $\strut C$ — величины, не зависящие от $\strut t$.

Продифференцируем (18) по времени:

$$i\omega Ae^{i\omega t}+i\omega' Be^{i\omega' t}=i\omega'' Ce^{i\omega'' t}.$$ (19)

Отсюда

$$\frac{1}{\omega''}(\omega Ae^{i\omega t}+\omega' Be^{i\omega' t})=Ce^{i\omega'' t}.$$ (20)

Сравнивая (18) и (20), получим

$$A(\omega''-\omega)e^{i\omega t}=(\omega'-\omega'')Be^{i\omega' t}.$$ (21)

Это равенство удовлетворится при любом $\strut t$, если $\omega=\omega'$. Аналогичным образом, определяя из уравнений (18) и (20) выражения для $Be^{i\omega' t}$ и приравнивая их, получим $\omega=\omega''$, что и требовалось доказать. Доказательство равенства компонентов волновых чисел принципиально ничем не отличается от вышеприведенного (вместо дифференцирования по времени проведем дифференцирование по координатам $\strut X$ и $y$).

Далее: Вывод законов Вверх: Лекция 4 Назад: Волновой вектор