Далее: Электромагнитная волна Вверх: Лекция 4 Назад: Лекция 4

Волновой вектор

Чтобы освободиться от использования системы координат запишем $E=E_m\cos(\omega t - kx),\quad H=H_m\cos(\omega t - kx)$ (см. Лекция 1, формула 15) с помощью векторных обозначений, полагая $E(\vec x, t)=\Phi(\vec r, t)$. Пусть вектор ${\vec k}$ равен по модулю волновому числу и направлен параллельно оси $\strut X$ в сторону положительных значений (рис. 1). Такой вектор называется волновым. Принимая во вниание, что $\vec k\cdot\vec r=kx$, запишем для произвольной точки, характеризуемой радиусом-вектором ${\vec r}$, выражение

$$\fbox{$\Phi (\vec r, t)=A\cos(\omega t-\vec k\cdot\vec r)$.}$$ (1)

Рис. 1		Рис. 2

Эта формула не зависит от системы координат и характеризует плоскую волну, распространяющуюся в направлении вектора $\vec k$.

Аналогичное выражение для волны можно также написать с использованием синуса:

$$\fbox{$\Phi^\prime (\vec r, t)=A^\prime \sin(\omega t-\vec k\cdot\vec r)$,}$$ (2)

которое при подходящем выборе начала отсчета времени может быть сведено к предыдущему, поскольку $\sin(\alpha+\pi/2)=-\cos\alpha$.

Представление плоской волны в комплексной форме. Принимая во внимание формулу Эйлера

$$e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha,$$ (3)

представим выражения (1) и (2) формулами

$$\fbox{$\Phi (\vec r, t)=ARe[e^{-i(\omega t-\vec k\cdot\vec r)}]$},$$ (4)

$$\fbox{$\Phi^\prime (\vec r, t)=-A^\prime Im[e^{-i(\omega t-\vec k\cdot\vec r)}]$},$$ (5)

где $\strut Re$ и $\strut Im$ — вещественная и мнимая части комплексного числа. В расчетах удобно пользоваться комплексным представлением плоской волны в виде

$$\fbox{$\Phi (\vec r,t)=Ae^{-i(\omega t-\vec k\cdot\vec r)}$},$$ (6)

обозначая комплексную величину тем же символом, что и действительную. Это упрощает написание формул и не приводит к путанице. В тех случаях, когда путаница все же возможна, будем в явном виде указывать, о каком представлении идет речь.

Величина $\strut A$ в (6) может быть как действительной, так и комплексной или мнимой. Учитывая, что в общем случае

$$A=\vert A\vert e^{i\varphi}, \qquad \tg\varphi={ImA\over ReA},$$

запишем выражение (6) в виде

$$\fbox{$\Phi(\vec r, t)=\vert A\vert e^{-i(\omega t-\vec k\cdot\vec r-\varphi)}$},$$ (7)

где $\vert A\vert$ — амплитуда плоской волны. Поэтому и в (7) $\vert A\vert$ — амплитуда плоской волны, а $(\omega t-\vec k\cdot\vec r-\varphi)$ — фаза.

Будем искать решение уравнений Максвелла $\nabla\times\vec E=-\dot{\bf B},\quad \nabla\times\vec H=\dot{\bf D}$ (см. Лекция 1, формула 2) и $\nabla\cdot\vec B=0,\quad \nabla\cdot\vec D=0$ (см. Лекция 1, формула 3) в виде

$$\mathbf {E} (\vec r, t)=\mathbf {E_0}e^{-i(\omega t-\vec k\cdot\v... ...,\qquad\mathbf {B} (\vec r, t)=\mathbf {B_0}e^{-i(\omega t-\vec k\cdot\vec r)},$$ (8)

где $\mathbf {E_0}$ и $\mathbf {B_0}$ — постоянные векторы, не зависящие от координат и времени. Компоненты этих векторов могут быть комплексными.

Подставляя выражения (8) в уравнения (см. Лекция 1, формула 2) и (см. Лекция 1, формула 3) и учитывая, что

$$\nabla e^{i\vec k\cdot\vec r}=i\vec k e^{i\vec k\cdot\vec r}, \qquad {\partial\over\partial t}e^{-i \omega t } =-i\omega e^{-i \omega t},$$ (9)

получаем следующие соотношения:

$$-\vec k\times\mathbf{B}=\omega\mu_0\varepsilon_0\mathbf{E},\qquad\vec k\times\mathbf{E}=\omega\mathbf{B},$$ (10)

$$\vec k\cdot\mathbf{B}=0,\qquad \vec k\cdot\mathbf{E}=0.$$ (11)

Из соотношений (11) следует, что векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ плоской волны перпендикулярны вектору $\vec k$, т. е. направлению распространения. Это означает, что электромагнитная волна является поперечной. Соотношения (10) показывают, что векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ взаимно перпендикулярны. Таким образом, $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$ и $\mathbf{k}$ составляют тройку взаимно перпендикулярных векторов.

Поперечность световых колебаний была открыта в 1817г. Т.Юнгом (1773 — 1829). С помощью этого представления он объяснил отсутствие интерференции лучей света, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях, обнаруженное в 1816г. экспериментально в совместной работе Д.Ф.Араго (1786 — 1853) и О.Ж.Френеля (1788 — 1827).

Взяв от обеих частей второго уравнения (10) модули $\vert\mathbf {k}\times\mathbf {E}\vert=\omega\vert\mathbf B\vert$ и учитывая, что $\vert\mathbf {k}\times\mathbf {E}\vert=\vert\mathbf {k}\vert\vert\mathbf {E}\vert$, $\vert\mathbf {k}\vert=k=\omega/c$, находим следующее соотношение между напряженностью электрического поля и магнитной индукцией плоской волны в вакууме:

$$\fbox{$\mathbf {E}=c\mathbf {B}$.}$$ (12)

Поскольку $\mathbf {k},\omega,\mu_0,\varepsilon_0$ в (10) — вещественные величины, из (8) заключаем, что $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ в плоской волне изменяются в одинаковой фазе, т. е. одновременно достигают максимальных и нулевых значений (рис. 2).

Далее: Электромагнитная волна Вверх: Лекция 4 Назад: Лекция 4