Далее: Задача 4. Вверх: Лекция 6. Назад: Задача 2.

Задача 3.

Вывести с помощью принципа Ферма формулу преломления параксиальных лучей на сферической поверхности радиуса $R_{}$, разделяющей среды с показателями преломления $n_{}$ и $n'$:

$${n'\over s'}-{n\over s}={n'-n\over R} .$$

Рис. 15

Решение

Пусть $S_{}$ — точечный источник света и $S'$ — его изображение (рис.15). По принципу Ферма оптические длины всех лучей, вышедших из $S_{}$ и собравшихся в $S'$, должны быть одинаковы. Проведем дуги окружностей из центров $S_{}$ и $S'$ радиусами $SO_{}$ и $S'N$. Тогда оптические пути $DN_{}$ и $OB_{}$ должны быть равны:

$$n\cdot DN=n'\cdot OB .$$ (55)

Для параксиальных лучей $DN\approx AO+OC$. Найдем последние два отрезка. Сначала $AO_{}$: из рисунка видно, что

$$r^2 = (SD)^2-(SA)^2= (SD+SA)(SD-SA)\approx2(-s)AO ,$$

откуда

$$AO= {r^2\over(-2s)} .$$

Аналогично

$$OC ={r'^{\displaystyle{}^2}\over 2R} .$$

Отсюда находим сумму $AO+OC$, т. е. $DN_{}$. В свою очередь

$$OB=OC-BC={r'^{\displaystyle{}^2}\over2R}-{r'^{\displaystyle{}^2}\over2s'} .$$

Подставив это выражение в (55) и имея в виду, что $r'\approx r$, получим искомое соотношение.

Далее: Задача 4. Вверх: Лекция 6. Назад: Задача 2.