Далее: Свойства плоских Вверх: Излучение, Свойства, Назад: Излучение, Свойства,

Излучение диполя

Возбуждение электромагнитных волн какой-либо системой называют излучением этих волн, а саму систему — излучающей системой. Поле электромагнитной волны называют полем излучения.

Согласно представлениям классической электродинамики электромагнитные волны в вакууме возбуждаются электрическими зарядами, движущимися с ускорением. Простейшей излучающей системой является осциллирующий электрический диполь, момент $\strut P$ которого изменяется с течением времени, — элементарный вибратор.

Если излучающая система электронейтральна, а ее размеры малы по сравнению с длиной $\lambda$ излучаемых волн, то в точках, отстоящих от системы на расстояниях $r\gg\lambda$ — в так называемой волновой зоне, — поле излучения близко к полю излучения осциллятора, имеющего такой же электрический момент, как и вся излучающая система.

Рассмотрим некоторые закономерности излучения линейного гармонического осциллятора — электрического диполя, размер которого $\ell\ll\lambda$, а момент $\strut P$ изменяется во времени по закону

$$\strut\mathbf{p}=\strut\mathbf{p}_m\cos{\omega t} ,$$ (39)

где $\strut\mathbf{p}_m$ — амплитудное значение $\strut\mathbf{p}$. Все дальнейшее относится к вакууму, где длина волны $\lambda$ излучения связана с частотой $\strut \omega$ соотношением $\lambda=2\pi c/\omega$.

Рис. 7

Напомним, электрическое поле постоянного диполя спадает при удалении от него по закону $\strut E\sim 1/r^3$. В случае же осциллирующего диполя дело обстоит иначе. В непосредственной близости от диполя картина электромагнитного поля очень сложна. Она сильно упрощается в волновой зоне: быстро спадающее статическое поле практически исчезает и остается только поле излучения от осциллирующих зарядов — расходящаяся сферическая волна с той же частотой, что и у осциллятора. Амплитуда волны (это доказывается в электродинамике) уменьшается с ростом расстояния $\strut R$ от диполя как

$$E_m \sim H_m \sim {1\over r} \sin\vartheta$$ (40)

где $\vartheta$ — угол между осью диполя и радиус-вектором $\strut\mathbf{r}$ точки, где наблюдается поле (рис. 7). Из этого рисунка видно, что вектор $\strut\mathbf{E}$ в каждой точке волновой зоны направлен по касательной к меридиану, а вектор $\strut\mathbf{H}$ по касательной к параллели, причем так, что в каждый момент векторы $\strut\mathbf{E}$ и $\strut\mathbf{H}$ составляют правую тройку с вектором Пойнтинга $S=[\strut\mathbf{EH}]$.

Факт существования электромагнитного поля, амплитуда которого убывает с расстоянием как $1/r$, — поля излучения — весьма важен. Наличие именно такого поля позволяет осуществлять передачи на большие расстояния, видеть звезды.

Интенсивность электромагнитной волны, т.е. среднее значение плотности потока энергии $\langle S\rangle$, пропорционально произведению $\strut\mathbf{E}_m\strut\mathbf{H}_m$, значит, согласно (40),

$$I =\langle S\rangle \sim {1\over r^2} \sin^2\vartheta.$$ (41)

Рис. 8

Зависимость $I(\vartheta)$ наглядно изображают с помощью диаграммы направленности излучения диполя (рис. 8). Здесь длина отрезка $OO'$, отсекаемого на луче под углом $\vartheta$, дает интенсивность излучения под этим углом. Видно, что максимум излучения происходит в экваториальной плоскости ( $\vartheta=\pi/2$), а вдоль оси ( $\vartheta=0$) диполь не излучает совсем — это важный вывод.

Как показывает теория, мощность излучения $\strut P$ диполя, т.е. энергия, излучаемая в единицу времени по всем направлениям, пропорциональна квадрату второй производной дипольного момента по времени и определяется формулой

$$P =\alpha\ddot{\mathbf{p}}^2 ,$$ (42)

где $\alpha=\mu_ 0/6\pi c$ (СИ) или $2/c^3$ (СГС). Зная зависимость $\strut\mathbf{p}$ от $\strut t$, формула (39), получим:

$$P =\alpha\omega^4 p_m^2\cos^2\omega t .$$ (43)

Следовательно, средняя по времени мощность излучения диполя

$$\langle P\rangle = (\alpha/2)\omega^4 p_m^2.$$ (44)

Это важный результат: средняя мощность излучения осциллирующего диполя зависит от квадрата его амплитуды и очень сильно от частоты (как $\strut \omega^4$). Отсюда следует, что, например, радиостанции должны использовать высокие частоты, а излучение линий передач переменного тока промышленной частоты оказывается незнaчительным. Формула (51) справедлива также для излучения заряда $q$, движущегося ускоренно. В самом деле, дипольный момент можно представить так: $\strut\mathbf{p}=q\strut\mathbf{l} =q(\strut\mathbf{r}_+-\strut\mathbf{r}_-)$, где $\strut\mathbf{r}_+$ и $\strut\mathbf{r}_-$ — радиусы-векторы зарядов $q$ и $-q$. Отсюда

$$p = q(r_{+}-r ) = q(a_{+}-a_{-}),$$ (45)

и если заряд, например $q$, покоится, а движется только заряд $-q$, то

$$p=-q\strut\mathbf{a}_{-} .$$ (46)

После подстановки этого выражения в формулу (51) найдем:

$$\fbox{$P_t= \alpha Ha_t^2 . $}$$ (47)

где $\strut \alpha$ — тот же коэффициент, что и в формуле (51).

Это знаменитая формула для мощности излучения заряда, движущегося с ускорением. Индексы $\strut t$ и $t'$ показывают, что мощность $\strut P$ в момент $\strut t$ определяется ускорением заряда, которое он имеет в более ранний момент $t'=t-l/c$ (эффект запаздывания). И еще, формула (54), как следует из теории, справедлива лишь для зарядов, движущихся с малыми скоростями ($v \ll c$).

В качестве примера можно привести заряженные частицы, движущиеся в циклических ускорителях (бетатроне, циклотроне и др.). Здесь обнаруживается естественный предел для энергии ускоряемой частицы, когда энергия, сообщаемая частице за период, становится равной энергии излучения.

Другой пример — излучение электрона в атоме. По классическим представлениям электрон в атоме совершает колебания, т.е. движется с ускорением и, значит, излучает. Расчет показывает, что время $\strut\tau$, за которое амплитуда колебаний электрона уменьшается в $\strut E$ раз, порядка $10^{-8}$с. Это время называют средним временем жизни возбужденного атома, или временем излучения. Точный (квантовый) расчет приводит практически к тому же значению этого времени.

Следует обратить внимание на то, что заряд, колеблющийся с частотой $\strut \omega$, излучает монохроматическую электромагнитную волну с той же частотой $\strut \omega$. Если же заряд движется с произвольным ускорением, то его излучение представляет собой спектр различных частот.

И последнее, заряд, движущийся в вакууме с постоянной скоростью, не излучает. В этом легко убедиться и непосредственно. Достаточно перейти в систему отсчета, где заряд покоится (а такой заряд не излучает) и затем воспользоваться принципом относительности: если этого явления (излучения) нет в одной системе отсчета, его нет и в других, по отношению к которым заряд движется¹.

Далее: Свойства плоских Вверх: Излучение, Свойства, Назад: Излучение, Свойства,