Вверх: Излучение, Свойства, Назад: Свойства плоских

Плоские волны

Большую роль в физике играет волновое уравнение. Для скалярной функции $\strut \Phi$ оно имеет вид

$$\nabla^2\Phi - {1\over c^2}{\partial^2\Phi\over \partial^2 t} =0 .$$ (50)

Найдем общее решение этого уравнения для случая, когда $\strut \Phi$ зависит только от одной из декартовых координат, например $\strut X$, т.е. $\Phi = \Phi(x,t)$. Это означает, что $\strut \Phi$ имеет постоянное значение в точках плоскости, перпендикулярной оси $\strut X$. В этом случае уравнение (50) принимает вид

$${\partial^2\Phi\over \partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\Phi\over \partial t^2} =0 .$$ (51)

Используя независимые переменные

$$\xi = x-ct,\qquad \eta = x+ct$$ (52)

получаем

$${\partial \Phi\over\partial x} = {\partial \Phi\over\partial \xi}... ...ial x} = {\partial \Phi\over\partial \xi}+ {\partial \Phi\over\partial \eta} ,$$ (53)

$${\partial \Phi\over\partial t} = {\partial \Phi\over\partial \xi}... ... = - c {\partial \Phi\over\partial \xi}+ c {\partial \Phi\over\partial \eta} .$$ (54)

Разделив обе части уравнения (54) на $\strut c$ и вычитая их почленно из левых и правых частей уравнения (53), находим

$${\partial\over\partial x} - {1\over c}{\partial\over \partial t} = 2 {\partial\over \partial\xi} .$$ (55)

Аналогично, почленное сложение правых и левых частей тех же уравнений дает

$${\partial\over\partial x} + {1\over c}{\partial\over \partial t} = 2 {\partial\over \partial\eta} .$$ (56)

Тогда

$$\left( {\partial\over\partial x} - {1\over c}{\partial\over \part... ...= {\partial^2\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\over \partial t^2} .$$ (57)

С учетом (55) и (56) преобразуем уравнение (51) к виду

$${\partial^2\Phi\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\Phi\o... ...artial t^2}= 4{\partial\over\partial\xi }{\partial\over\partial\eta}\Phi =0 .$$ (58)

Интегрируя (58) по $\xi$, получаем независимую от $\xi$ функцию, которая в данном случае может зависеть только от $\eta$, т. е. является произвольной функцией $\Psi(\eta)$. После этого уравнение (58) принимает вид

$${\partial\Phi\over\partial\eta}=\Psi (\eta).$$ (59)

Интегрируя (59) по $\eta$, получаем

$$\Phi=\int\Psi d\eta=\Phi_1(\eta)+\Phi_2(\xi),$$ (60)

где $\Phi_1(\eta)$— первообразная функция в интеграле от $\Psi(\eta)$ по $d\eta$, $\Phi_2(\xi)$— постоянная интегрирования. Как видно по ходу решения, функции $\Phi_1$ и $\Phi_2$ произвольны. С учетом (52) общее решение (60) уравнения (51) может быть записано в виде

$$\fbox{$\Phi (x,t)=\Phi_1(x+ct)+\Phi_2(x- ct)$.}$$ (61)

Выясним физический смысл этого решения. Сначала проанализируем решение

$$\fbox{$\Phi=\Phi_2(x-ct)$.}$$ (62)

Рис. 9. Волна движется в направлении положительных значений $x: \Phi=\Phi_2(x-ct)$.

График $\Phi_2$ как функции от $\strut X$ в моменты времени $\strut t$ и $t+\bigtriangleup t$ изображен на рис. 9. Видно, что значение аргумента функции в точке $\strut X$ в момент $\strut t$ совпадает со значением аргумента функции в точке $x+\triangle x$ в момент $t+\triangle t$, если $\triangle x=c\triangle t$, поскольку

$$x-ct=x+\triangle x-c(t+\triangle t)\qquad(\triangle x=c\triangle t) .$$ (63)

Поэтому график функции для $t+\triangle t$ получается из графика для $\strut t$ смещением всех точек кривой в направлении положительных значений оси $\strut X$ на $\triangle x=c\triangle t$. Следовательно, скорость волны равна $v=\triangle x/\triangle t=c$. Функция $\Phi_2(x-ct)$ описывает волну произвольной формы, движущуюся со скоростью $\strut c$ в направлении положительных значений оси $\strut X$. В процессе движения значение $\Phi_2$ в каждой точке волны и форма волны не изменяются.

Физический смысл $\Phi_1$, т. е. решения

$$\fbox{$\Phi=\Phi_1(x+ct)$,}$$ (64)

выясняется аналогично. Учитывая, что

$$x+ct=x+\triangle x+c(t+\triangle t)\qquad(\triangle x=-c\triangle t),$$ (65)

заключаем, что функция $\Phi_1(x+ct)$ описывает волну произвольной формы, движущуюся со скоростью $\strut c$ в направлении отрицательных значений оси $\strut X$ (рис. 10). Значение $\Phi_1$ в каждой точке волны и форма волны в процессе движения не изменяются.

Рис. 10. Волна движется в направлении отрицательных значений $x: \Phi=\Phi_1(x+ct)$.

Волна, описываемая формулой (62), является суперпозицией двух волн, движущихся в противоположных направлениях. В этом случае уже нельзя говорить о скорости или направлении волны. В простейшем случае получается стоячая волна, а в общем случае — сложное электромагнитное поле, которое требует специального изучения.

Значение функции $\strut \Phi$ для фиксированных $\strut X$ и $\strut t$ является постоянным на плоскости, перпендикулярной оси $\strut X$. Поэтому такие волны называются плоскими.

Вверх: Излучение, Свойства, Назад: Свойства плоских