Далее: Искусственное двойное Вверх: Лекция 16. Назад: Прохождение плоскополяризованного

Кристаллическая пластинка между двумя поляризаторами

Поместим между поляризаторами² $P_{}$ и $P'$ пластинку из одноосного кристалла, вырезанную параллельно оптической оси $O_{}$ (рис.4). Из поляризатора $P_{}$ выйдет плоскополяризованный свет интенсивности $I_{}$. Пройдя через пластинку, свет станет в общем случае эллиптически поляризованным. По выходе из поляризатора $P'$ свет снова будет плоскополяризованным.

Рис. 4

Его интенсивность $I'$ зависит от взаимной ориентации плоскостей поляризаторов $P_{}$ и $P'$ и оптической оси пластинки, а также от разности фаз $\delta$, приобретаемой обыкновенным и необыкновенным лучами при прохождении через пластинку.

Предположим, что угол $\varphi$ между плоскостью поляризатора $P_{}$ и осью пластинки $O_{}$ равен $$\pi\over\displaystyle4$$. Рассмотрим два частных случая: поляризаторы параллельны (рис.5а) и поляризаторы скрещены (рис.5б).

Рис. 5

Световое колебание, вышедшее из поляризатора $P_{}$, изобразится вектором $\mathbf{E}$, лежащим в плоскости $P_{}$. При входе в пластинку колебание $\mathbf{E}$ возбудит два колебания — перпендикулярное к оптической оси колебание $\mathbf{E}_0$ (обыкновенный луч) и параллельное оси колебание $\mathbf{E}_e$ (необыкновенный луч). Эти колебания будут когерентными; проходя через пластинку, они приобретут разность фаз $\delta$, которая определяется толщиной пластинки и разностью показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей. Амплитуды этих колебаний одинаковы и равны

$$E_0=E_e=E\cos\left({\pi\over4}\right)={E\over\sqrt{2}},$$ (4)

где $E_{}$ — амплитуда волны, вышедшей из первого поляризатора.

Через второй поляризатор пройдут составляющие колебаний $\mathbf{E}_0$ и $\mathbf{E}_e$ по направлению плоскости $P'$. Амплитуды этих составляющих в обоих случаях равны амплитудам (4), умноженным на $\cos\left({\pi\over4}\right)$, т. е.

$$E'_0=E'_e={E\over2}.$$ (5)

В случае параллельных поляризаторов (рис.5а) разность фаз волн, вышедших из поляризатора $P'$, равна $\delta$, т. е. разности фаз, приобретенной при прохождении через пластинку. В случае скрещенных поляризаторов (рис. 5б) проекции векторов $\mathbf{E}_0$ и $\mathbf{E}_e$ на направление $P'$ имеют разные знаки. Это означает, что в дополнение к разности фаз $\delta$ возникает дополнительная разность фаз, равная $\pi_{}$.

Волны, вышедшие из второго поляризатора, будут интерферировать. Амплитуда $E_{\parallel}$ результирующей волны в случае параллельных поляризаторов определяется соотношением

$$E^2_{\parallel}=E'^2_0+E'^2_e+2E'_0E'_e\cos\delta,$$

а в случае скрещенных поляризаторов — соотношением

$$E^2_{\perp} = E'^2_0 + E'^2_e + 2E'_0E'_e\cos(\delta+\pi).$$

Приняв во внимание (5), можно написать, что

$$E^2_{\parallel} =\frac{1}{4}E^2 + \frac{1}{4}E^2 + \frac{1}{2}\cos\delta=\frac{1}{2}E^2(1+\cos\delta)=E^2\cos^2\frac{\delta}{2},$$

$$E^2_{\perp}=\frac{1}{4}E^2+\frac{1}{4}E^2+\frac{1}{2}E^2\cos(\delta+\pi)=\frac{1}{2}E^2(1 - \cos\delta) =E^2\sin^2\frac{\delta}{2}.$$

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно,

$$I'_{\parallel}=I\cos^2\frac{\delta}{2},\qquad I'_{\perp}=I\sin^2\frac{\delta}{2}.$$ (6)

Здесь $I'_{\parallel}$ — интенсивность света, вышедшего из второго поляризатора в случае, когда поляризаторы параллельны, $I'_{\perp}$— та же интенсивность в случае, когда поляризаторы скрещены, $I_{}$ — интенсивность света, прошедшего через первый поляризатор.

Из формул (6) следует, что интенсивности $I'_{\parallel}$ и $I'_{\perp}$ оказываются «дополнительными» — в сумме они дают интенсивность $I_{}$. В частности, при

$$\delta = 2m\pi \qquad (m = 1,2,\ldots)$$ (7)

интенсивность $I'_{\parallel}$ будет равна $I_{}$, а интенсивность $I'_{\perp}$ обращается в нуль. При значениях же

$$\delta=(2m+1)\pi \qquad (m = 0,l,\ldots)$$ (8)

интенсивность $I'_{\parallel}$ становится равной нулю, а интенсивность $I'_{\perp}$ достигает значения $I_{}$.

Разность показателей преломления $n_0-n_e$ зависит от длины волны света $\lambda_0$. Кроме того, $\lambda_0$ входит непосредственно в выражение (3) для $\delta$. Пусть свет, падающий на поляризатор $P_{}$, состоит из излучения двух длин волн $\lambda_1$ и $\lambda_2$, таких, что $\delta$ для $\lambda_1$ удовлетворяет условию (7), а для $\lambda_2$ — условию (8). В этом случае при параллельных поляризаторах через систему, изображенную на рис.4, пройдет беспрепятственно свет с длиной волны $\lambda_1$ и полностью будет задержан свет с длиной волны $\lambda_2$. При скрещенных поляризаторах пройдет беспрепятственно свет с длиной волны $\lambda_2$ и полностью будет задержан свет с длиной волны $\lambda_1$. Следовательно, при одном расположении поляризаторов окраска прошедшего через систему света будет соответствовать длине волны $\lambda_1$, при другом расположении — длине волны $\lambda_2$. Такие две окраски называются дополнительными. При вращении одного из поляризаторов окраска непрерывно меняется, переходя за каждую четверть оборота от одного дополнительного цвета к другому. Смена окраски наблюдается и при $\varphi$, отличном от $$\pi\over\displaystyle4$$ (но не равном нулю или $$\pi\over\displaystyle2$$), только цвета оказываются менее насыщенными.

Разность фаз $\delta$ зависит от толщины пластинки. Поэтому, если двоякопреломляющая прозрачная пластинка, помещенная между поляризаторами, имеет в разных местах неодинаковую толщину, эти места при наблюдении со стороны поляризатора $P'$ будут представляться окрашенными в различные цвета. При вращении поляризатора $P'$ эти цвета изменяются, причем каждый из них переходит в дополнительный цвет. Поясним это следующим примером. На рис.6а изображена помещенная между поляризаторами пластинка, у которой нижняя половина толще верхней. Пусть свет, проходящий через пластину, содержит излучение только двух длин волн: $\lambda_1$ и $\lambda_2$. На рис.6б дан «вид» со стороны поляризатора $P'$. По выходе из кристаллической пластинки каждая из составляющих излучения будет, вообще говоря, поляризована по эллипсу. Ориентация и эксцентриситет эллипсов для длин волн $\lambda_1$ и $\lambda_2$, а также для разных половин пластинки будут различны.

Рис. 6

При установке плоскости поляризатора $P'$ в положение $P'_1$ в излучении, прошедшем через $P'$, будет преобладать в верхней половине пластинки длина волны $\lambda_1$, в нижней половине — $\lambda_2$. Поэтому обе половины будут иметь разную окраску. При установке поляризатора $P'$ в положение $P'_2$ окраска верхней половины будет определяться излучением с длиной волны $\lambda_2$, нижней половины — излучением с длиной волны $\lambda_1$. Таким образом, при повороте поляризатора $P'$ на $90^\circ$ обе половины пластинки как бы обмениваются окраской. Разумеется, так будет обстоять дело лишь при определенном соотношении толщин обеих частей пластинки.

Далее: Искусственное двойное Вверх: Лекция 16. Назад: Прохождение плоскополяризованного