Вверх: Лекция 18. Назад: Опыт Майкельсона

Эффект Доплера

В акустике изменение частоты, обусловленное эффектом Доплера, определяется скоростями движения источника и приемника по отношению к среде, являющейся носителем звуковых волн (см. формулу (1.78) И.В.Савельев ``Курс общей физики'' кн.1). Для световых волн также существует эффект Доплера. Однако особой среды, которая служила бы носителем электромагнитных волн, не существует. Поэтому доплеровское смещение частоты световых волн определяется только относительной скоростью источника и приемника.

Рис. 30

Свяжем с источником света начало координат системы $K_{}$, а с приемником — начало координат системы $K'$ (рис.30). Оси $X_{}$ и $x'$ направим, как обычно, вдоль вектора скорости $\mathbf {v}_{}$, с которой система $K'$ (т.е. приемник) движется относительно системы $K_{}$ (т.е. источника). Уравнение плоской световой волны, испускаемой источником по направлению к приемнику, будет в системе $K_{}$ иметь вид

$$E(x,t)=A\cos\left[\omega\left(t-{x\over c}\right)+\alpha\right].$$ (49)

Здесь $\omega_{}$ — частота волны, фиксируемая в системе отсчета, связанной с источником, т.е. частота, с которой колеблется источник. Мы предполагаем, что световая волна распространяется в вакууме; поэтому фазовая скорость равна $c_{}$.

Согласно принципу относительности законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, в системе $K'$ волна (49) описывается уравнением

$$E'(x',t')=A'\cos\left[\omega'\left(t'-{x'\over c}\right)+\alpha'\right],$$ (50)

где $\omega'$ — частота, фиксируемая в системе отсчета $K'$, т. е. частота, воспринимаемая приемником. Мы снабдили штрихами все величины, кроме $c_{}$, которая одинакова во всех системах отсчета.

Уравнение волны в системе $K'$ можно получить из уравнения в системе $K_{}$, перейдя от $X_{}$ и $t_{}$ к $x'$ и $t'$ с помощью преобразований Лоренца:

$$\left.{\begin{array}{lcl} x&= & {\displaystyle x'+vt'\over\displa... ...\over c^2}x'\over\displaystyle \sqrt{1-{v^2\over c^2}}} . \end{array}}\right\}$$ (51)

Заменив в (49) $X_{}$ и $t_{}$ согласно формулам (51), получим

$$E(x',t')=A\cos\left\{\omega\left[\frac{\displaystyle t'+\left({v\... ...rac{x'+vt'}{c\cdot\sqrt{\displaystyle 1-{v^2\over c^2}}}\right]+\alpha\right\}$$

(роль $v_0$ играет $v_{}$). Последнее выражение легко привести к виду

$$E(x',t')=A\cos\left[\omega\frac{\displaystyle1-{v\over c}}{\sqrt{\displaystyle1-{v^2\over c^2}}}\left(t'-\frac{x'}{c}\right)+\alpha\right]$$ (52)

Уравнение (52) описывает в системе $K'$ ту же волну, что и уравнение (50). Поэтому должно выполняться соотношение

$$\omega'=\omega\frac{\displaystyle1-{v\over c}}{\sqrt{\displaystyl... ...}}}=\omega\sqrt{\frac{\displaystyle 1-{v\over c}}{\displaystyle1+{v\over c}}}.$$

Изменим обозначения: частоту источника $\omega_{}$ обозначим через $\omega_0$, а частоту приемника $\omega'$ — через $\omega_{}$. В результате формула примет вид

$$\omega=\omega_0\sqrt{\frac{\displaystyle 1-{v\over c}}{\displaystyle1+{v\over c}}}.$$ (53)

Перейдя от круговой частоты к обычной, получим

$$\nu=\nu_0\sqrt{\frac{\displaystyle 1-{v\over c}}{\displaystyle1+{v\over c}}}.$$ (54)

Фигурирующая в формулах (53) и (54) скорость $v_{}$ приемника по отношению к источнику есть величина алгебраическая. При удалении приемника $v > 0$ и согласно (53) $\omega<\omega_0$; при приближении приемника к источнику $v < 0$, так что $\omega > \omega_0$.

В случае, если $v\ll c$, формулу (53) можно приближенно записать следующим образом:

$$\omega\approx\omega_0\frac{\displaystyle1-\left({1\over2}\right)\... ...over c}}\approx\omega_0\left(1-\frac{v}{2c}\right)\left(1-\frac{v}{2c}\right).$$

Отсюда, ограничившись членами порядка $$v\over\displaystyle c$$, получим

$$\omega=\omega_0\left(1-\frac{v}{c}\right).$$ (55)

Из этой формулы можно найти относительное изменение частоты:

$$\frac{\Delta\omega}{\omega}=-\frac{v}{c}$$ (56)

(под $\Delta\omega_{}$ подразумевается $\omega-\omega_0$).

Можно показать, что, кроме рассмотренного нами продольного эффекта, для световых волн существует также поперечный эффект Доплера. Он заключается в уменьшении воспринимаемой приемником частоты, наблюдающемся в том случае, когда вектор относительной скорости направлен перпендикулярно к прямой, проходящей через приемник и источник ¹⁵ (когда, например, источник движется по окружности, в центре которой помещается приемник). В этом случае частота $\omega_0$ в системе источника связана с частотой $\omega_{}$ в системе приемника соотношением

$$\omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\approx\omega_0\left(1-\frac{v^2}{2c^2}\right)$$ (57)

Относительное изменение частоты при поперечном эффекте Доплера

$$\frac{\Delta\omega}{\omega}=\frac{v^2}{2c^2}$$ (58)

пропорционально квадрату отношения $$v\over\displaystyle c$$ и, следовательно, значительно меньше, чем при продольном эффекте, для которого относительное изменение частоты пропорционально первой степени $$v\over\displaystyle c$$.

Существование поперечного эффекта Доплера было доказано экспериментально Айвсом в 1938г. В опытах Айвса определялось изменение частоты излучения атомов водорода в каналовых лучах (см. И.В.Савельев ``Курс общей физики'' кн.2, последний абзац § 12.6). Скорость атомов составляла примерно $2\cdot10^6$ м/с. Эти опыты представляют собой непосредственное экспериментальное подтверждение справедливости преобразований Лоренца.

В общем случае вектор относительной скорости можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена вдоль луча, а другая — перпендикулярно к лучу. Первая составляющая обусловит продольный, вторая — поперечный эффект Доплера.

Продольный эффект Доплера используется для определения радиальной скорости звезд. Измерив относительное смещение линий в спектрах звезд, можно по формуле (53) определить $v_{}$.

Тепловое движение молекул светящегося газа приводит вследствие эффекта Доплера к уширению спектральных линий. Из-за хаотичности теплового движения все направления скоростей молекул относительно спектрографа равновероятны. Поэтому в регистрируемом прибором излучении присутствуют все частоты, заключенные в интервале от $\omega_0\left(1- {\displaystyle v\over\displaystyle c}\right)$ до $\omega_0\left(1 + {\displaystyle v\over\displaystyle c}\right)$, где $\omega_0$ — частота, излучаемая молекулами, $v_{}$ — скорость теплового движения (см. формулу 55). Таким образом, регистрируемая ширина спектральной линии составит $$2\omega_0v\over\displaystyle c$$. Величину

$$\delta\omega_D=2\omega_0\frac{v}{c}$$ (59)

называют доплеровской шириной спектральной линии (под $v_{}$ подразумевается наиболее вероятная спорость молекул). По величине доплеровского уширения спектральных линий можно судить о скорости теплового движения молекул, а следовательно, и о температуре светящегося газа.

Вверх: Лекция 18. Назад: Опыт Майкельсона