Далее: Дифракция Фраунгофера Вверх: Лекция 12. Назад: Лекция 12.

Дифракция Френеля на полуплоскости и щели

В предыдущем параграфе мы рассматривали с помощью принципа Гюйгенса-Френеля дифракцию сферической волны от круглого отверстия. Осевая симметрия задачи подсказывала выбор конфигурации зон, на которые мы разбивали открытую часть волновой поверхности — в виде круговых колец. Теперь перейдем к случаю, когда волновая поверхность плоская и характер препятствия (полуплоскость, щель) предписывает разбивать открытую часть волновой поверхности на зоны в виде прямолинейных полосок.

Рис. 17

Дифракция от прямолинейного края полуплоскости. Пусть на экран Э падает нормально плоская монохроматическая волна длины $\lambda$. Расположим перед экраном на расстоянии $\ell$ от него непрозрачную полуплоскость $N_{}$ с прямолинейным краем (рис. 17). Если бы свет распространялся прямолинейно, то на экране Э мы наблюдали бы резкую тень от края этой полуплоскости (точка $P_0$ на рисунке). В действительности же из-за волнового характера света на экране Э образуется сложная дифракционная картина.

Для расчета этой картины воспользуемся принципом Гюйгенса-Френеля. В данном случае в качестве интересующей нас волновой поверхности $S_{}$ возьмем ту открытую ее часть, которая продолжает непрозрачную полуплоскость. Соответствующие расчеты были проведены аналитически Френелем, получены результаты в виде так называемых интегралов Френеля, и задача, таким образом, была решена.

Мы не будем воспроизводить здесь этот расчет и ограничимся лишь интерпретацией его и полученного результата с помощью векторной диаграммы. Это наиболее простой и наглядный метод, открывающий к тому же весьма эффективные практические применения.

Из соображений симметрии ясно, что дифракционная картина на экране Э будет зависеть только от расстояния до границы геометрической тени — точки $P_0$ на рис.17, т.е. светлые и темные полосы должны быть параллельны прямолинейному краю $K_{}$ непрозрачной полуплоскости $N_{}$. Говоря далее об амплитуде колебаний в точке $P_{}$ на экране, мы будем иметь в виду, что это относится ко всем точкам прямой, проходящей через точку $P_{}$ и параллельной краю полуплоскости.

Сначала найдем амплитуду колебаний в точке $P_0$, которая находится на краю геометрической тени (рис.17, a). Для этой точки (и только для нее) мы могли бы использовать разбиение открытой части волновой поверхности на полукольца — полузоны Френеля. Но поскольку нам предстоит определять амплитуду колебаний и в других точках экрана, то в соответствии с симметрией данной задачи разобьем мысленно открытую часть волновой поверхности $S_{}$ на весьма узкие одинаковой ширины прямолинейные полоски (зоны), параллельные краю полуплоскости.

Рис. 18

Амплитуду колебаний, приходящих в точку $P_0$ от первой зоны-полоски изобразим вектором $d\vec A_1$ (рис. 18). Амплитуду колебаний от следующей полоски — вектором $d\vec A_2$, повернутым на очень небольшой угол против часовой стрелки, так как эти колебания проходят до точки $P_0$ несколько большее расстояние и, значит, отстают по фазе.

В дальнейшем угол между соседними векторами-амплитудами становится все больше, поскольку запаздывание по фазе колебаний, приходящих в точку $P_0$ от последующих зон-полосок растет все больше. Модули же векторов $d\vec A_i$ будут уменьшаться (из-за увеличения расстояния до $P_0$ и угла $\vartheta$ между нормалью к полоске и направлением на точку $P_0$). Результирующая амплитуда колебаний в точке $P_0$ от достаточно широкой полосы волновой поверхности $S_{}$ изобразится суммой (цепочкой) векторов $d\vec A_i$ от всех укладывающихся на этой полосе элементарных зон-полосок. Это вектор $\vec A$ на рис. 18.

Спираль Корню. В пределе, когда ширина полосы стремится к бесконечности, т. е. превращается в полуплоскость, и ширина каждой элементарной зоны-полоски стремится к нулю, цепочка векторов превращается в плавную кривую, являющуюся правой половиной спирали Корню (рис. 19).

Рис. 19

Эта спираль состоит из двух симметричных ветвей, закручивающихся вокруг фокусов $F_1$ и $F_2$. Ее левая половина описывает действие колебаний, приходящих в точку $P_0$ от участков волновой поверхности (если бы они были открыты), лежащих левее края $K_{}$ непрозрачной полуплоскости (см. рис. 17, а).

Амплитуда колебаний в точке $P_0$ от волновой поверхности, лежащей правее края $K_{}$ непрозрачной полуплоскости, изобразится вектором, проведенным из точки $O_{}$ в фокус $F_2$ спирали Корню. Амплитуда же колебаний в точке $P_0$ от полностью открытой волновой поверхности — вектором, проведенным из фокуса $F_1$ в фокус $F_2$.

Для нахождения вектора-амплитуды колебаний в точке $P_{}$, лежащей, например, правее точки $P_0$ (см. рис. 17, б), от какой-либо полосы волновой поверхности, лежащей между координатами $x_1$ и $x_2$, нужно построить вектор, который замыкает соответствующий этой полосе участок спирали Корню.

Это делается так. Каждой точке спирали Корню соответствует определенное значение некоторого параметра $s_{}$ (он пропорционален длине дуги спирали, отсчитываемой от точки $O_{}$ на рис. 19). Значения параметра указаны вдоль кривой. Из аналитического расчета следует, что параметр $s_{}$ связан с расстоянием $x_{}$, отсчитываемым от точки $C$ до интересующей нас точки $D_{}$ волновой поверхности $S_{}$ (рис.20) формулой

$$s=x\sqrt{2\over\ell\lambda},$$ (26)

где $\lambda$ — длина волны света, $\ell$ — расстояние между экраном Э и волновой поверхностью $S_{}$, в плоскости которой расположено то или иное препятствие на пути световой волны.

Рис. 20

Обратим внимание на то, что параметр $s_{}$ пропорционален расстоянию $x_{}$. Значит, $x\sim s_{}\sim$ длине дуги спирали Корню, отсчитываемой от точки $O_{}$ (см. рис. 19) в соответствующую сторону (вправо или влево).

Теперь покажем как с помощью спирали Корню получить распределение интенсивности света на экране вблизи края геометрической тени при дифракции плоской волны от прямолинейного края непрозрачной полуплоскости $N_{}$. Если точка $P_{}$ находится правее точки $P_0$ (см. рис. 17, б), то правая часть волновой поверхности $S_{}$ (от точки $C_{}$) полностью открыта, и на спирали Корню амплитуда колебаний в точке $P_{}$ соответствует вектору $DF_2$. Конец этого вектора находится в фокусе $F_2$, а начало — точка $D_{}$ — в зависимости от положения точки $P_{}$. Когда $P_{}$ находится на краю геометрической тени (в точке $P_0$), точка $D_{}$ совпадает с точкой $O_{}$ на спирали Корню (см. рис.19), и вектор-амплитуда соответствующих колебаний изобразится вектором $OF_2$, равным половине вектора $F_1F_2$ — от полностью открытой волновой поверхности $S_{}$. Поэтому интенсивность света в точке $P_0$ в четыре раза меньше интенсивности $I_0$ в отсутствие непрозрачной полуплоскости.

При перемещении точки $P_{}$ вправо от точки $P_0$ точка $D_{}$ на спирали Корню (начало вектора $DF_2$) будет перемещаться по левой ветви спирали, так как слева от точки $C_{}$ будут открываться все новые зоны-полоски. Это приводит к тому, что амплитуда и интенсивность в точке $P_{}$ при удалении ее от $P_0$ будут последовательно проходить через максимумы и минимумы, различие между которыми постепенно уменьшается и интенсивность приближается к значению $I_0$ (рис. 21).

Рис. 21

При перемещении точки $P_{}$ влево от точки $P_0$ — в область геометрической тени, точка $D_{}$ на спирали Корню перемещается вправо от точки $O_{}$. Легко видеть, что длина вектора $DF_2$, а значит и интенсивность, будет монотонно уменьшаться до нуля (см. рис.21).

Теперь покажем на конкретном примере как просто с помощью спирали Корню и формулы (26) решаются вопросы, связанные с распределением интенсивности при дифракции света от края непрозрачной полуплоскости.

Пример.

Дифракцию плоской волны от края непрозрачной полуплоскости наблюдают на экране Э, отстоящем от полуплоскости $N_{}$ на расстояние $\ell = 100 {\text{см}}$. Длина волны света $\lambda = 500 {\text{нм}}$. Найдем расстояние $\Delta x_{}$ между первыми двумя максимумами на экране Э и интенсивность первого максимума, если интенсивность падающего света равна $I_0$. Согласно формуле (26)

$$\Delta x= x_2 - x_1 = (s_2 - s_1)\sqrt{\ell\lambda\over2} = (2,3 ... ...cdot500\cdot10^{-9}\over2} = 5,5\cdot10^{-4}{ \text{м}} = 0,55 { \text{мм}}.$$

С помощью рис. 19 и линейки находим, что отношение амплитуды 1-го максимума, т. е. расстояния между точками $G_{}$ и $F_2$, к амплитуде падающего света $F_1F_2$ равно $\eta\approx1,175$. Следовательно, интенсивность 1-го максимума

$$I_1 = \eta^2I_0 = 1,37 I_0.$$

Следует отметить, что обычно точка наблюдения $P_{}$ в лабораторных установках находится за непрозрачной полуплоскостью на расстоянии, не превышающем порядка одного метра. При этом для определения амплитуды результирующего колебания играет роль сравнительно небольшой участок волновой поверхности $S_{}$, лежащий вблизи края полуплоскости. В таких условиях край практически любого препятствия можно считать прямолинейным и для расчета дифракционной картины успешно пользоваться спиралью Корню.

Дифракция от щели. Таким же образом — с помощью спирали Корню и формулы (26) — можно рассчитать распределение интенсивности в дифракционной картине от бесконечно длинной прямолинейной щели. Сама дифракционная картина на экране имеет симметричный относительно середины вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели (предполагается, что плоская световая волна падает на щель нормально).

Рис. 22

С помощью той же спирали Корню легко убедиться в том, что при постепенном увеличении ширины щели интенсивность в середине дифракционной картины будет сначала иметь максимум, затем минимум, потом опять максимум и т. д. (рис.22, а, б, в). Таким образом, мы будем наблюдать при этом последовательное чередование максимумов и минимумов (в середине картины), разность между которыми будет постепенно уменьшаться, стремясь к интенсивности $I_0$ падающего на щель света. Сама же дифракционная картина будет постепенно локализовываться только вблизи геометрической тени от краев щели.

Пример.

На прямолинейную щель в непрозрачной преграде падает нормально плоская световая волна (рис.23).

Рис. 23

Длина волны $\lambda = 0,60$мкм. Расстояние от щели до экрана Э равно $\ell = 50$см. Найдем минимальную ширину $b$ щели, при которой в точке $P_{}$ интенсивность будет максимальной. Это означает, что амплитуда колебаний в точке $P_{}$ должна быть максимальной, т. е. соответствующей рис.22, а. При этом параметр $s_{}$ должен быть равным (см. рис.19) $s\approx1,3$. Согласно формуле (26) этому значению параметра $s_{}$ отвечает расстояние $x = s\sqrt{\displaystyle\ell\lambda\over\displaystyle2} = 0,5 { \text{мм}}$. Значит, искомая ширина щели $b = 2 x =1 { \text{мм}}$.

Отметим, что в отличие от спирали Френеля, которая давала возможность решать вопросы об интенсивности только в одной точке дифракционной картины, спираль Корню позволяет в ряде случаев находить распределение интенсивности во всех точках дифракционной картины.

Далее: Дифракция Фраунгофера Вверх: Лекция 12. Назад: Лекция 12.