Далее: Лекция 12. Вверх: Лекция 11. Назад: Принцип Гюйгенса—Френеля

Дифракция Френеля на круглом отверстии

Зоны Френеля. Суммирование (интегрирование) амплитуд элементарных колебаний, приходящих в точку $P_{}$, вообще говоря, весьма сложно. Но в простейших случаях, обладающих определенной симметрией, интегрирование, как показал Френель, может быть заменено простым алгебраическим или графическим сложением (последнее особенно наглядно).

Суммирование амплитуд колебаний, приходящих от различных элементов волновой поверхности $S_{}$, Френель предложил делать с помощью разбиения поверхности $S_{}$ на зоны, конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи.

Рис. 9

Пользуясь методом Френеля, определим амплитуду световых колебаний в точке $P_{}$ за круглым отверстием на его оси (рис. 9). Волновая поверхность $S_{}$, которой мы перекроем отверстие, симметрична относительно прямой $P_0P$, поэтому ее наиболее целесообразно разбивать на кольцевые зоны с центром на оси отверстия. Эти зоны выбираем так, чтобы расстояние от краев каждой зоны до точки $P_{}$ отличалось друг от друга на половину длины волны, ${\displaystyle\lambda\over\displaystyle2}$. Это и есть зоны Френеля в данном случае.

Найдем внешний радиус $m_{}$-й зоны Френеля, $r_m$. С этой целью воспользуемся рис. 10, из которого видно, что отрезок СО равен

$$h_a+h_b=m\lambda/2 .$$ (19)

Выразим $h_a$ и $h_b$ через $r_m$ и соответствующие радиусы $A_{}$ и $b + m\lambda/2$. Согласно теореме Пифагора, $r_m^2=a^2-(a-h_a)^2$.

Рис. 10

Преобразовав правую часть этого равенства как разность квадратов, получим $r_m^2 =(2a- h_a)h_a$. Обычно мы будем иметь дело со случаями, когда $h_a\ll 2a$, поэтому предыдущее равенство можно записать так:

$$h_a={r_m^2\over2a} .$$ (20)

Рассуждая аналогично для правой части рис. 10, получим следующее выражение:

$$r_m^2 =(b+m\lambda/2)^2 - (b + m\lambda/2- h_b)^2 = (2b+m\lambda-h_b)h_b .$$

Пренебрегая здесь в последней скобке слагаемыми $m_{}\lambda$ и $h_b$ по сравнению с $2b$, приходим к выводу, что

$$h_b={r_m^2\over2b} .$$ (21)

Остается подставить (20) и (21) в исходную формулу (19), и мы получим, что внешний радиус $m_{}$-й зоны Френеля

$$r_m=\sqrt{m\lambda\frac{ab}{a+b}} .$$ (22)

Заметим, что если падающая нормально на данное отверстие волна плоская $(a \to\infty)$, то

$$r_m=\sqrt{m\lambda b} .$$ (23)

Если же падающая волна сферическая и сходящаяся в точке, расположенной за отверстием на расстоянии $A_{}$ от него, то $A_{}$ следует считать отрицательным: $a < 0$.

Чтобы иметь некоторое представление о порядках величин, с которыми приходится иметь дело при дифракции света, рассмотрим следующий пример.

Пример.

На круглое отверстие радиуса $r=1,0 {\text{мм}}$ нормально падает плоская световая волна с $\lambda = 0,50 {\text{мкм}}$. Определим число зон Френеля, которые укладываются в этом отверстии для точки наблюдения $P_{}$, расположенной на оси отверстия и отстоящей от него на расстоянии $b = 80 {\text{см}}$.

Поскольку падающая волна плоская, следует воспользоваться формулой (23), откуда находим

$$2m=\frac{r^2}{\lambda b}=\frac{(10^{-3})^2}{0,5\cdot10^{-6}\cdot0,8}=2,5 .$$

т. е. в данном случае в отверстии укладывается две с половиной зоны Френеля.

Площади зон (при достаточно малых $m_{}$) $\Delta S = \pi r_m^2 - \pi r_{m-1}^2$, или

$$\Delta S=\pi\lambda\frac{ab}{a+b} ,$$ (24)

т.е. практически одинаковы. Но амплитуды колебаний, приходящих в точку $P_{}$ от этих зон, монотонно и слабо убывают из-за увеличения расстояния $r_{}$ до точки $P_{}$ от каждой следующей зоны и роста угла $\vartheta$ между нормалью к элементам зоны и направлением на точку $P_{}$.

Фазы колебаний, возбуждаемых в точке $P_{}$ соседними зонами, отличаются на $\pi_{}$, поэтому векторы-амплитуды нечетных зон противоположны по направлению векторам-амплитудам от четных зон. И результирующая амплитуда, а значит и интенсивность, зависит от того, четное или нечетное число $m_{}$ зон Френеля умещается в отверстии — для точки наблюдения $P_{}$. Если число зон нечетное, в точке $P_{}$ наблюдается максимум, если же число зон четное, то — минимум.

Число зон $m_{}$ в отверстии мы можем изменять. Например, для увеличения числа зон надо или расширить отверстие, или приблизить экран к нему, или то и другое вместе. Это непосредственно вытекает из формулы (22), если под $r_m$ понимать радиус отверстия.

Спираль Френеля. Рассмотрим графический метод сложения амплитуд. В этом простом и наглядном методе волновую поверхность мысленно разбивают на весьма узкие кольцевые зоны. Амплитуду колебаний, создаваемых каждой из таких зон, изобразим вектором $d\mathbf{A}$. Вследствие увеличения расстояния $r_{}$ и уменьшения коэффициента $K_{}$ амплитуда колебаний, создаваемых каждой следующей узкой кольцевой зоной, будет убывать по модулю и отставать по фазе от колебаний, создаваемых предыдущей зоной. Изобразив отставание по фазе поворотом каждого вектора $d\mathbf{A}$ против часовой стрелки на соответствующий угол, получим цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая амплитуда колебаний в точке $P_{}$.

Рис. 11

На (рис.11, а) показан результат действия 1-й зоны Френеля. Здесь амплитуда колебаний $dA_N$ от узкого кольца, прилегающего к границе 1-й зоны Френеля, отстает по фазе на $\pi$ от амплитуды колебаний, приходящих в точку $P_{}$ из центра 1-й зоны — от $dA_1$, поэтому соответствующие этим амплитудам векторы взаимно противоположны по направлению.

Продолжая построение, получим векторную диаграмму для результирующей амплитуды колебаний в точке $P_{}$ от действия первых двух зон Френеля (рис.11, б), затем от первых трех зон Френеля (рис.11, в), и т. д. Цепочка по мере увеличения числа узких кольцевых зон будет «закручиваться» в спираль, и в результате амплитуда от действия всех зон (всей волновой поверхности) будет равна $A_{\infty}$ (рис.12). Эту спираль назовем спиралью Френеля (в отличие от другой спирали, с которой мы встретимся в следующем параграфе).

Рис. 12

Забегая вперед, отметим, что дифракция Френеля связана с действием лишь нескольких первых витков спирали (более подробно об этом поговорим позднее).

Таким образом, амплитуда колебаний и интенсивность света в точке $P_{}$ (см. рис.9) по мере увеличения радиуса отверстия в экране изменяется не монотонно. Пока открывается первая зона Френеля, амплитуда в точке $P_{}$ увеличивается и достигает максимума при полностью открытой зоне (см. рис.11, а). Но по мере открывания второй зоны Френеля амплитуда колебаний в точке $P_{}$ убывает, и при полностью открытых двух первых зонах уменьшается почти до нуля (см. рис.11, б). Затем амплитуда увеличивается снова (рис.11, в) и т. д.

То же самое будет наблюдаться, если вместо увеличения отверстия приближать к нему точку наблюдения $P_{}$ вдоль прямой $P_0P$ (см. рис.9). Это легко понять из данного рисунка: при этом число открываемых зон Френеля в отверстии экрана ${\text{\it Э}_{}}$ будет увеличиваться.

На первый взгляд эти результаты, предсказанные на основе принципа Гюйгенса-Френеля, выглядят парадоксальными. Однако они хорошо подтверждаются опытом. В то же время согласно геометрической оптике интенсивность света в точке $Р_{}$ не должна зависеть от радиуса отверстия.

Итак, амплитуда колебаний в точке $P_{}$ от полностью открытой волновой поверхности, согласно представлениям Френеля, равна $A_{\infty} = {\displaystyle A_1\over\displaystyle2}$, т. е. интенсивность ($I\sim A^2$) в четыре раза меньше, чем при наличии экрана с круглым отверстием, открывающим только 1-ю зону Френеля. Особенно неожиданным в методе Френеля представляется тот удивительный вывод, что при отверстии в экране, открывающем для точки $P_{}$ две зоны Френеля, интенсивность в этой точке падает практически до нуля, хотя световой поток через отверстие оказывается вдвое больше.

Пятно Пуассона. Не менее неожиданно и то, что за круглым непрозрачным диском в центре его геометрической тени интенсивность не равна нулю. Если диск перекрывает лишь несколько зон Френеля, то интенсивность в центре геометрической тени почти такая же, как при отсутствии диска. Это непосредственно следует из спирали Френеля (рис.13), поскольку если диск закрывает, скажем, $1,5$ зоны Френеля, то результирующий вектор $\vec A_{\infty}$ при полностью открытой волновой поверхности можно представить как сумму двух векторов: $\vec A_{\infty} =\vec A_{1,5} + \vec A_{\text{ост}}$. Так как первые полторы зоны закрыты, то остается только вектор $\vec A_{\text{ост}}$ — от всех остальных зон. Этот вектор по модулю лишь немного меньше вектора $\vec A_{\infty}$.

Рис. 13

Это светлое пятно в центре геометрической тени называют пятном Пуассона. Рассматривая в свое время метод Френеля, Пуассон пришел к выводу, что в центре тени от диска должно быть светлое пятно, но счел этот вывод столь абсурдным, что выдвинул его как убедительное возражение против волновой теории, разиваемой Френелем. Однако это «абсурдное» предсказание было экспериментально подтверждено Арагоном. Волновая теория Френеля восторжествовала.

Зонная пластинка. Если в экране открыть только нечетные зоны Френеля (1-ю, 3-ю, ...), то векторы-амплитуды от этих зон будут сонаправлены и в сумме дадут вектор, во много раз превосходящий по модулю векторы $\vec A_{\infty}$ и $\vec A_1$. Такой экран называют зонной пластинкой. Аналогично можно изготовить зонную пластинку, где открыты только четные зоны Френеля.

Зонная пластинка, содержащая $N_{}$ открытых зон, создает в точке $P_{}$ интенсивность приблизительно в $n^2$ раз большую, чем отверстие в первую зону Френеля.

Усиление интенсивности света зонной пластинкой эквивалентно фокусирующему действию линзы. Расстояния от зонной пластинки до источника $P_0$ и его «изображения» $P_{}$ связаны таким же соотношением, как и соответствующие расстояния для линзы. Чтобы в этом убедиться, достаточно переписать формулу (22) в виде

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{m\lambda}{r_m^2},$$ (25)

где выражение в правой части равенства можно рассматривать как $$1\over\displaystyle f$$, $f$ —- фокусное расстояние: $f={\displaystyle r_m^2\over\displaystyle m\lambda}={\displaystyle r_1^2\over\displaystyle\lambda}$, поскольку $r_m^2\sim m$. Но в отличие от линзы, зонная пластинка — система не таутохронная: колебания, приходящие в фокус $F_{}$ от соседних открытых зон, различаются по фазе на $2\pi_{}$ (разность хода $\lambda$). Кроме этого фокуса (основного), зонная пластинка имеет и другие, а именно те точки $F'$, в которые колебания от соседних открытых зон приходят с разностью хода $2\lambda, 3\lambda$ и т. д. Эти другие фокусы оказываются более слабыми по сравнению с основным.

Интенсивность света в главном фокусе $F_{}$ зонной пластинки можно увеличить еще в четыре рачза, если изменить на $\pi_{}$ фазы вторичных волн, исходящих из всех зон Френеля с четными (или нечетными) номерами. Тогда векторы-амплитуды от всех зон будут сонаправлены и результирующая амплитуда возрастет еще вдвое. Такая пластинка была изготовлена Вудом путем травления в соответствующих зонах тонкого лакового покрытия. Ее действие вполне эквивалентно действию линзы, так как в обоих случаях вторичные волны от всех точек волновой поверхности приходят в точку $F_{}$ в одинаковых фазах.

Дополнительные замечания. Они касаются как самой спирали Френеля в качестве рабочего инструмента, так и вида дифракционной картины в зависимости от радиуса отверстия.

1. При решении некоторых вопросов, если дело ограничивается первым витком спирали Френеля, т. е. первой зоной, и мы не претендуем на особую точность результатов, то вполне достаточно первый виток принимать за окружность. Погрешность будет при этом для многих случаев несущественной.

Пример.

Плоская световая волна интенсивности $I_0$ падает нормально на экран, в котором для точки наблюдения $P_{}$ открыты только внутренняя половина 1-й зоны Френеля и вторая (внешняя) половина 2-й зоны Френеля. Найдем интенсивность света в точке $P_{}$. Принимая первый виток спирали Френеля за окружность, построим соответствующие векторы $\vec A_1$ и $\vec A_2$ (рис. 14),

Рис. 14

и ответ очевиден: $A = 2A_{\infty}$, откуда $I = 4I_0$.

2. Метод зон Френеля позволяет сравнительно просто найти интенсивность света только в точке $P_{}$, лежащей на оси круглого отверстия в экране. Расчет же распределения интенсивности для всей дифракционной картины значительно сложнее. Вся картина обладает круговой симметрией и представляет собой чередующиеся светлые и темные кольца, плавно переходящие друг в друга.

Если в отверстии экрана укладывается 1-я зона Френеля или ее часть, то интенсивность максимальна в центре картины (т. е. в точке $P_{}$) и монотонно убывает при удалении от точки $P_{}$. Если отверстие в экране открывает две первые зоны Френеля, то в окрестности точки $P_{}$ возникает темное круглое пятно, а вокруг него — светлое кольцо. С увеличением числа $m_{}$ открытых зон в отверстии экрана увеличивается и число светлых и темных колец. На рис 15 показано распределение интенсивности $I_{}$ от расстояния $r_{}$ до центра дифракционной картины при различном числе $m_{}$ открытых зон Френеля.

Рис. 15

Когда же в отверстии укладывается большое число зон Френеля, интенсивность вблизи точки $P_{}$ оказывается почти равномерной и лишь у краев геометрической тени отверстия наблюдается чередование весьма узких светлых и темных кольцевых полос.

Продемонстрируем на конкретном примере возможности спирали Френеля (см. рис. 12) при дифракции от некоторых объектов, не обладающих круговой симметрией.

Рис. 16

Пример.

Плоская световая волна интенсивности $I_0$ падает нормально на экраны, показанные на рис. 16. Найдем интенсивность света в точке $P_{}$, расположенной за экранами, если в случае а) открыто $$3\over\displaystyle4$$ волновой поверхности, а в случае б) закругленная часть экрана является границей 1-й зоны Френеля для точки $P_{}$. Прежде всего ясно, что в этих случаях дифракционная картина (чередующиеся светлые и темные полосы) не будет обладать круговой симметрией, она значительно сложнее. Но расчет для указанной точки $P_{}$ оказывается достаточно простым. Действительно, в случае а) от каждой зоны Френеля будет действовать только $$3\over\displaystyle4$$ ее части, следовательно, амплитуда в точке $P_{}$ будет $A=\left({\displaystyle3\over\displaystyle4}\right)A_{\infty}$ и интенсивность $I=\left({\displaystyle3\over\displaystyle4}\right)^2 I_0$. В случае же б) результирующая амплитуда $A_{}$ в точке $P_{}$ будет равна разности амплитуды от первой зоны Френеля $A_1$ и амплитуды от всех остальных зон $\left({\displaystyle3\over\displaystyle4}\right)A_{\text{ост}}$, где $A_{\text{ост}} \approx A_{\infty}$. Подчеркнем: именно разности, поскольку обеим амплитудам на спирали Френеля (см. рис.12) соответствуют векторы, противоположно направленные, т. е. имеющие разность фаз $\pi_{}$. Итак, результирующая амплитуда в точке $P_{}$ равна

$$A = A_1 - \left({3\over4}\right)A_{\text{ост}}= 2A_{\infty} - \left({3\over4}\right)A_{\infty}= \left({5\over4}\right)A_{\infty}.$$

Отсюда интенсивность $I = \left({\displaystyle5\over\displaystyle4}\right)^2I_0$.

Замечания о методе Френеля. Вычисления, выполненные на основе принципа Гюйгенса — Френеля, дают, как показывает опыт, правильное распределение интенсивности при дифракции, т. е. позволяют найти правильное значение амплитуды результирующей волны в любой точке экрана, если размеры отверстий или препятствий не оказываются слишком малыми (сравнимыми с длиной волны ${\lambda}$), другими словами, при не очень больших углах дифракции.

При этом, однако, в методе расчета Френеля есть принципиальные неясности. Главные из них заключаются в следующем.

1. При вычислении результатов интерференции элементарных волн приходится считать, что амплитуда колебаний от элементов $dS$ волновой поверхности зависит от угла $\vartheta$ между нормалью к элементу $dS$ и направлением на точку $P_{}$, для которой ведется расчет. Амплитуда максимальна при $\vartheta = 0$ и монотонно убывает до нуля при стремлении $\vartheta$ к $$\pi\over\displaystyle2$$, т. е. нет «обратной» волны. Это обстоятельство остается не обоснованным в теории Френеля.

2. Расчет по методу Френеля дает неправильное значение фазы результирующего колебания. Для полностью открытой волновой поверхности она отличается на $$\pi\over\displaystyle2$$ от действительной. Это видно из рис.12. Направление спирали Френеля в ее начале дает в точке наблюдения фазу колебаний от центрального элемента первой зоны. Это и есть то значение фазы, которое соответствует действительности. Результирующий же вектор от полностью открытой волновой поверхности повернут на $$\pi\over\displaystyle2$$ против часовой стрелки, т. е. отстает по фазе на $$\pi\over\displaystyle2$$. Таким образом, постулат Френеля, правильно задавая амплитуды вспомогательных источников, неудачно определяет их фазы.

Для большинства задач вопрос о фазе не имеет значения, ибо нас интересует интенсивность результирующей волны, которая пропорциональна квадрату амплитуды. Значение же последней метод Френеля дает правильное.

Итак, несмотря на некоторые недостатки, метод Френеля в вопросах расчета интенсивности волн для многих случаев является весьма плодотворным.¹.

Далее: Лекция 12. Вверх: Лекция 11. Назад: Принцип Гюйгенса—Френеля