Далее: Интерферометр Фабри-Перо
Вверх: Лекция 10.
Назад: Лекция 10.
До сих пор мы рассматривали двухлучевую интерференцию. Теперь
исследуем случай, когда интерферирует много световых лучей.
Допустим, что в данную точку экрана приходит лучей одинаковой
интенсивности, причем фаза каждого следующего луча сдвинута
относительно фазы предыдущего на одну и ту же величину .
Представим возбуждаемые лучами колебания в виде экспонент:
Результирующее колебание определится формулой
Полученное выражение представляет собой сумму членов
геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и
знаменателем, равным
. Следовательно,
где
|
(1) |
есть комплексная амплитуда, которую можно представить в виде
|
(2) |
( — обычная амплитуда результирующего колебания, —
его начальная фаза).
Произведение величины (2) на ее комплексно
сопряженную дает квадрат амплитуды результирующего колебания:
|
(3) |
Подставив в (3) значение (1) для
, получим следующее выражение для квадрата амплитуды:
|
(4) |
Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно,
интенсивность, возникающая при интерференции лучей,
определяется выражением
|
(5) |
( — коэффициент пропорциональности, —
интенсивность, создаваемая каждым из лучей в отдельности). При
значениях
|
(6) |
выражение (6) становится неопределенным. Раскроем
неопределенность по правилу Лопиталя:
|
(7) |
Полученное выражение также оказывается неопределенным. Поэтому
применим правило Лопиталя еще раз:
|
(8) |
Таким образом, при
(или разностях хода
) результирующая интенсивность равна
|
(9) |
Такой результат можно было предвидеть заранее. Действительно, в
точки, для которых
, все колебания приходят в
одинаковой фазе. Следовательно, результирующая амплитуда
оказывается в раз больше амплитуды отдельного колебания, а
интенсивность в раз больше интенсивности отдельного
колебания.
Назовем места, в которых наблюдается интенсивность, определяемая
формулой (9), главными максимумами. Их
положение определяется условием (6). Число
называется порядком главного максимума. Из выражения
(5) следует, что в промежутке между двумя соседними
главными максимумами располагается минимумов интенсивности.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, например, промежуток между
максимумами нулевого () и первого () порядка. В этом
промежутке изменяется от нуля до , а
— от нуля до .
Знаменатель выражения (5) всюду, кроме концов
промежутка, отличен от нуля, причем в середине промежутка он
достигает наибольшего значения, равного единице. Величина
принимает в
рассматриваемом промежутке все значения от нуля до . При
значениях
числитель выражения
(5) становится равным нулю. Это и будут минимумы
интенсивности. Их положения отвечают значениям , равным
|
(10) |
В промежутках между минимумами располагаются
вторичных максимумов. Наибольшей интенсивностью обладают вторичные
максимумы, ближайшие к главным максимумам. Вторичный максимум,
ближайший к главному максимуму нулевого порядка, лежит между
первым и вторым минимумами. Этим минимумам
отвечают значения , равные
и
.Следовательно,
рассматриваемому вторичному максимуму соответствует
. Подстановка этого
значения в формулу (5) дает
|
Рис. 1 |
Числитель равен единице. При большом можно положить синус в
знаменателе равным его аргументу
. Тогда
В числителе получилась интенсивность главного максимума (см.
(9). Таким образом, при большом ближайший к
главному максимуму вторичный максимум имеет интенсивность в
раза меньшую, чем интенсивность главного максимума. Остальные
вторичные максимумы оказываются еще слабее. На рис.
2 изображен график функции для . Для сравнения штриховой линией показан график интенсивности
для (двухлучевая интерференция; см. кривую на рис.
1). Из рисунка видно, что с увеличением числа
интерферирующих лучей главные максимумы делаются все более узкими.
Вторичные максимумы настолько слабы, что практически
интерференционная картина имеет вид узких ярких линий на темном
фоне.
|
Рис. 2 |
Теперь рассмотрим интерференцию очень большого числа лучей,
интенсивность которых убывает в геометрической прогрессии.
Складываемые колебания имеют вид
|
(11) |
( — постоянная величина, меньшая единицы). Результирующее
колебание описывается формулой
Воспользовавшись выражением для суммы членов геометрической
прогрессии, получим
Таким образом, комплексная амплитуда равна
|
(12) |
Если очень велико, комплексным числом
можно пренебречь по сравнению с единицей (для примера укажем, что
). Тогда выражение
(12) упрощается следующим образом:
Умножив это выражение на комплексно с ним сопряженное, получим
квадрат обычной амплитуды результирующего колебания:
Отсюда
|
(13) |
где — интенсивность первого (наиболее интенсивного)
луча. При значениях
|
(14) |
выражение (13) имеет максимумы, равные
|
(15) |
В промежутках между максимумами функция изменяется монотонно,
достигая в середине промежутка значения, равного
|
(16) |
Таким образом, отношение интенсивности в максимуме к интенсивности
в минимуме
|
(17) |
оказывается тем больше, чем ближе к единице, т. е. чем
медленнее происходит убывание интенсивности интерферирующих лучей.
На рис.3 показан график функции
(13) для . Из рисунка следует, что
интерференционная картина имеет вид узких резких линий на
практически темном фоне. В отличие от рис.2
вторичные максимумы отсутствуют.
|
Рис. 3 |
Далее: Интерферометр Фабри-Перо
Вверх: Лекция 10.
Назад: Лекция 10.
Отдел образовательных информационных технологий ЯГПУ
21.10.2014