Далее: Интерферометр Фабри-Перо Вверх: Лекция 10. Назад: Лекция 10.

Многолучевая интерференция

До сих пор мы рассматривали двухлучевую интерференцию. Теперь исследуем случай, когда интерферирует много световых лучей.

Допустим, что в данную точку экрана приходит $N_{}$ лучей одинаковой интенсивности, причем фаза каждого следующего луча сдвинута относительно фазы предыдущего на одну и ту же величину $\delta$. Представим возбуждаемые лучами колебания в виде экспонент:

$$\begin{multline}E_1=a\exp(i\omega t),\quad E_2=a\exp[i(\omega t+\delta)],\ldots,... ...)\delta]},\ldots, E_N=a\exp{i[\omega t+(N-1)\delta]}. \nonumber \end{multline}$$

Результирующее колебание определится формулой

$$E=\sum_{m=1}^N E_m=a\exp(i\omega t)\sum_{m=1}^N\exp[i(m-1)\delta].$$

Полученное выражение представляет собой сумму $N_{}$ членов геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем, равным $\exp(i\delta)$. Следовательно,

$$E=a\exp(i\omega t)\frac{1-\exp(iN\delta)}{1-\exp(i\delta)}=\hat A \exp(i\omega t).$$

где

$$\hat A=a\frac{1-\exp(iN\delta)}{1-\exp(i\delta)}$$ (1)

есть комплексная амплитуда, которую можно представить в виде

$$\hat A=A\exp(i\alpha)$$ (2)

($A_{}$ — обычная амплитуда результирующего колебания, $\alpha_{}$ — его начальная фаза).

Произведение величины (2) на ее комплексно сопряженную дает квадрат амплитуды результирующего колебания:

$$\hat A \hat A^*=A\exp(i\alpha)A\exp(-i\alpha)=A^2.$$ (3)

Подставив в (3) значение (1) для $\hat A$, получим следующее выражение для квадрата амплитуды:

$$A^2=\hat A\hat A^*=a^2\frac{[1-\exp(iN\delta)][1-\exp(-iN\delta)]... ...]} =a^2\frac{2-\exp(iN\delta)-\exp(-iN\delta)}{2-\exp(i\delta)-\exp(-i\delta)}=$$

$$=a^2\frac{1-\cos(N\delta)}{1-\cos\delta}=a^2\frac{\sin^2\left(N{\... ...playstyle2}\right)}{\sin^2\left(\displaystyle\delta\over\displaystyle2\right)}.$$ (4)

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, интенсивность, возникающая при интерференции $N_{}$ лучей, определяется выражением

$$I(\delta)=Ka^2\frac{\sin^2\left(N{\displaystyle\delta\over\displa... ...aystyle2}\right)}{\sin^2\left(N{\displaystyle\delta\over\displaystyle2}\right)}$$ (5)

($K_{}$ — коэффициент пропорциональности, $I_0=Ka^2$ — интенсивность, создаваемая каждым из лучей в отдельности). При значениях

$$\delta=2\pi m\qquad (m=0,\pm1,\pm2,\ldots)$$ (6)

выражение (6) становится неопределенным. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя:

$$\lim\limits_{\delta\to2\pi m} {\sin^2\left(N{\displaystyle\delta\... ...laystyle2}} = \lim\limits_{\delta\to2\pi m} N{\sin(N\delta)\over \sin\delta} .$$ (7)

Полученное выражение также оказывается неопределенным. Поэтому применим правило Лопиталя еще раз:

$$\lim\limits_{\delta\to2\pi m} {\sin^2\left(N{\displaystyle\delta\... ...\delta)} = \lim\limits_{\delta\to2\pi m}N{N\cos(N\delta)\over\cos\delta}=N^2 .$$ (8)

Таким образом, при $\delta = 2\pi m$ (или разностях хода $\Delta = m\lambda_0$) результирующая интенсивность равна

$$I=I_0 N^2 .$$ (9)

Такой результат можно было предвидеть заранее. Действительно, в точки, для которых $\Delta=2\pi m_{}$, все колебания приходят в одинаковой фазе. Следовательно, результирующая амплитуда оказывается в $N_{}$ раз больше амплитуды отдельного колебания, а интенсивность в $N^2$ раз больше интенсивности отдельного колебания.

Назовем места, в которых наблюдается интенсивность, определяемая формулой (9), главными максимумами. Их положение определяется условием (6). Число $m_{}$ называется порядком главного максимума. Из выражения (5) следует, что в промежутке между двумя соседними главными максимумами располагается $N-1$ минимумов интенсивности. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, например, промежуток между максимумами нулевого ($m_{} = 0$) и первого ($m_{} = 1$) порядка. В этом промежутке $\delta$ изменяется от нуля до $2\pi_{}$, а $$\delta\over\displaystyle2$$ — от нуля до $\pi_{}$. Знаменатель выражения (5) всюду, кроме концов промежутка, отличен от нуля, причем в середине промежутка он достигает наибольшего значения, равного единице. Величина $N{\displaystyle\delta\over\displaystyle2}$ принимает в рассматриваемом промежутке все значения от нуля до $N\pi_{}$. При значениях $\pi, 2\pi,\ldots, (N-1)\pi$ числитель выражения (5) становится равным нулю. Это и будут минимумы интенсивности. Их положения отвечают значениям $\delta_{}$, равным

$$\delta={k'\over N}\cdot 2\pi \qquad(k=1,2,\ldots,N-1) .$$ (10)

В промежутках между $N-1$ минимумами располагаются $N - 2$ вторичных максимумов. Наибольшей интенсивностью обладают вторичные максимумы, ближайшие к главным максимумам. Вторичный максимум, ближайший к главному максимуму нулевого порядка, лежит между первым $(k'=1)$ и вторым $(k' = 2)$ минимумами. Этим минимумам отвечают значения $\delta$, равные $$2\pi\over\displaystyle N$$ и $$4\pi\over\displaystyle N$$.Следовательно, рассматриваемому вторичному максимуму соответствует $\delta = {\displaystyle3\pi\over\displaystyle N}$. Подстановка этого значения в формулу (5) дает

$$I\left({3\pi\over N}\right)=Ka^2{\sin^2\left({\displaystyle3\pi\o... ...e 2}\right)\over\sin^2\left({\displaystyle3\pi\over\displaystyle2N}\right)} .$$

Рис. 1

Числитель равен единице. При большом $N_{}$ можно положить синус в знаменателе равным его аргументу $\left(\sin\left({\displaystyle3\pi\over\displaystyle2N}\right)\approx {\displaystyle3\pi\over\displaystyle2N}\right)$. Тогда

$$I\left({3\pi\over N}\right)=Ka^2{1\over \left({\displaystyle3\pi\... ...ht)^2}={Ka^2N^2\over \left({\displaystyle3\pi\over\displaystyle2}\right)^2} .$$

В числителе получилась интенсивность главного максимума (см. (9). Таким образом, при большом $N_{}$ ближайший к главному максимуму вторичный максимум имеет интенсивность в $\left({\displaystyle3\pi\over\displaystyle2}\right)^2\approx 22$ раза меньшую, чем интенсивность главного максимума. Остальные вторичные максимумы оказываются еще слабее. На рис. 2 изображен график функции $I(\delta)$ для $N_{} = 10$. Для сравнения штриховой линией показан график интенсивности для $N_{} = 2$ (двухлучевая интерференция; см. кривую $I(x)$ на рис. 1). Из рисунка видно, что с увеличением числа интерферирующих лучей главные максимумы делаются все более узкими. Вторичные максимумы настолько слабы, что практически интерференционная картина имеет вид узких ярких линий на темном фоне.

Рис. 2

Теперь рассмотрим интерференцию очень большого числа лучей, интенсивность которых убывает в геометрической прогрессии. Складываемые колебания имеют вид

$$E_1=a\exp(i\omega t), E_2=a\rho \exp[i(\omega t+\delta)],\ldots,E_m=a\rho^{m-1}\exp\{i[\omega t+(m-1)\delta]\},\ldots$$ (11)

($\rho$ — постоянная величина, меньшая единицы). Результирующее колебание описывается формулой

$$E=\sum_{m=1}^N E_m=a\exp(i\omega t)\sum_{m=1}^N \rho^{m-1}\exp[i(m-1)\delta] .$$

Воспользовавшись выражением для суммы членов геометрической прогрессии, получим

$$E=a\exp(i\omega t)\frac{1-\rho^N\exp(iN\delta)}{ 1-\rho \exp(i\delta)}=\hat A \exp(i\omega t) .$$

Таким образом, комплексная амплитуда равна

$$\hat A=a\frac{1-\rho^N\exp(iN\delta)}{1-\rho \exp(i\delta)} .$$ (12)

Если $N_{}$ очень велико, комплексным числом $\rho^N\exp(iN\delta)$ можно пренебречь по сравнению с единицей (для примера укажем, что $0,9^{100}\approx3\cdot10^{-5}$). Тогда выражение (12) упрощается следующим образом:

$$\hat A=a\frac{1}{1-\rho\exp(i\delta)} .$$

Умножив это выражение на комплексно с ним сопряженное, получим квадрат обычной амплитуды результирующего колебания:

$$\begin{multline}\nonumber A^2 ={\hat A}{\hat A^*}=\frac{a^2}{[1-\rho \exp(i\delt... ...=\frac{a^2}{(1-\rho)^2+4\rho\sin^2\left({\delta\over2}\right)} . \end{multline}$$

Отсюда

$$I(\delta)=\frac{Ka^2}{(1-\rho)^2+4\rho\sin^2\left({\delta\over2}\right)}=\frac{I_1}{(1-\rho)^2+4\rho\sin^2\left({\delta\over2}\right)},$$ (13)

где $I_1=Ka^2$ — интенсивность первого (наиболее интенсивного) луча. При значениях

$$\delta=2\pi m\qquad (m=0,\pm1,\pm2,\ldots)$$ (14)

выражение (13) имеет максимумы, равные

$$I_{\text{max}}=\frac{I_1}{(1-\rho)^2} .$$ (15)

В промежутках между максимумами функция изменяется монотонно, достигая в середине промежутка значения, равного

$$I_{min}=\frac{I_1}{(1-\rho)^2+4\rho}=\frac{I_1}{(1+\rho)^2}$$ (16)

Таким образом, отношение интенсивности в максимуме к интенсивности в минимуме

$$\frac{I_{max}}{I_{min}}=\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)^2$$ (17)

оказывается тем больше, чем ближе $\rho$ к единице, т. е. чем медленнее происходит убывание интенсивности интерферирующих лучей.

На рис.3 показан график функции (13) для $\rho=0,8$. Из рисунка следует, что интерференционная картина имеет вид узких резких линий на практически темном фоне. В отличие от рис.2 вторичные максимумы отсутствуют.

Рис. 3

Далее: Интерферометр Фабри-Перо Вверх: Лекция 10. Назад: Лекция 10.