Далее: Интерферометр Фабри-Перо Вверх: Лекция 10. Назад: Лекция 10.

Многолучевая интерференция

До сих пор мы рассматривали двухлучевую интерференцию. Теперь исследуем случай, когда интерферирует много световых лучей.

Допустим, что в данную точку экрана приходит $ N_{}$ лучей одинаковой интенсивности, причем фаза каждого следующего луча сдвинута относительно фазы предыдущего на одну и ту же величину $ \delta$. Представим возбуждаемые лучами колебания в виде экспонент:

\begin{multline}E_1=a\exp(i\omega t),\quad E_2=a\exp[i(\omega
t+\delta)],\ldots,...
...)\delta]},\ldots, E_N=a\exp{i[\omega t+(N-1)\delta]}.
\nonumber
\end{multline}

Результирующее колебание определится формулой

$\displaystyle E=\sum_{m=1}^N E_m=a\exp(i\omega t)\sum_{m=1}^N\exp[i(m-1)\delta].
$

Полученное выражение представляет собой сумму $ N_{}$ членов геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем, равным $ \exp(i\delta)$. Следовательно,

$\displaystyle E=a\exp(i\omega t)\frac{1-\exp(iN\delta)}{1-\exp(i\delta)}=\hat A
\exp(i\omega t).
$

где

$\displaystyle \hat A=a\frac{1-\exp(iN\delta)}{1-\exp(i\delta)}$ (1)

есть комплексная амплитуда, которую можно представить в виде

$\displaystyle \hat A=A\exp(i\alpha)$ (2)

($ A_{}$ — обычная амплитуда результирующего колебания, $ \alpha_{}$ — его начальная фаза).

Произведение величины (2) на ее комплексно сопряженную дает квадрат амплитуды результирующего колебания:

$\displaystyle \hat A \hat A^*=A\exp(i\alpha)A\exp(-i\alpha)=A^2.$ (3)

Подставив в (3) значение (1) для $ \hat A$, получим следующее выражение для квадрата амплитуды:

$\displaystyle A^2=\hat A\hat
A^*=a^2\frac{[1-\exp(iN\delta)][1-\exp(-iN\delta)]...
...]}
=a^2\frac{2-\exp(iN\delta)-\exp(-iN\delta)}{2-\exp(i\delta)-\exp(-i\delta)}=$

$\displaystyle =a^2\frac{1-\cos(N\delta)}{1-\cos\delta}=a^2\frac{\sin^2\left(N{\...
...playstyle2}\right)}{\sin^2\left(\displaystyle\delta\over\displaystyle2\right)}.$ (4)

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, интенсивность, возникающая при интерференции $ N_{}$ лучей, определяется выражением

$\displaystyle I(\delta)=Ka^2\frac{\sin^2\left(N{\displaystyle\delta\over\displa...
...aystyle2}\right)}{\sin^2\left(N{\displaystyle\delta\over\displaystyle2}\right)}$ (5)

($ K_{}$ — коэффициент пропорциональности, $ I_0=Ka^2$ — интенсивность, создаваемая каждым из лучей в отдельности). При значениях

$\displaystyle \delta=2\pi m\qquad (m=0,\pm1,\pm2,\ldots)$ (6)

выражение (6) становится неопределенным. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя:

$\displaystyle \lim\limits_{\delta\to2\pi m} {\sin^2\left(N{\displaystyle\delta\...
...laystyle2}} = \lim\limits_{\delta\to2\pi m} N{\sin(N\delta)\over \sin\delta} .$ (7)

Полученное выражение также оказывается неопределенным. Поэтому применим правило Лопиталя еще раз:

$\displaystyle \lim\limits_{\delta\to2\pi m} {\sin^2\left(N{\displaystyle\delta\...
...\delta)} = \lim\limits_{\delta\to2\pi m}N{N\cos(N\delta)\over\cos\delta}=N^2 .$ (8)

Таким образом, при $ \delta = 2\pi m$ (или разностях хода $ \Delta =
m\lambda_0$) результирующая интенсивность равна

$\displaystyle I=I_0 N^2 .$ (9)

Такой результат можно было предвидеть заранее. Действительно, в точки, для которых $ \Delta=2\pi m_{}$, все колебания приходят в одинаковой фазе. Следовательно, результирующая амплитуда оказывается в $ N_{}$ раз больше амплитуды отдельного колебания, а интенсивность в $ N^2$ раз больше интенсивности отдельного колебания.

Назовем места, в которых наблюдается интенсивность, определяемая формулой (9), главными максимумами. Их положение определяется условием (6). Число $ m_{}$ называется порядком главного максимума. Из выражения (5) следует, что в промежутке между двумя соседними главными максимумами располагается $ N-1$ минимумов интенсивности. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, например, промежуток между максимумами нулевого ($ m_{} = 0$) и первого ($ m_{} = 1$) порядка. В этом промежутке $ \delta$ изменяется от нуля до $ 2\pi_{}$, а $ \displaystyle\delta\over\displaystyle2$ — от нуля до $ \pi_{}$. Знаменатель выражения (5) всюду, кроме концов промежутка, отличен от нуля, причем в середине промежутка он достигает наибольшего значения, равного единице. Величина $ N{\displaystyle\delta\over\displaystyle2}$ принимает в рассматриваемом промежутке все значения от нуля до $ N\pi_{}$. При значениях $ \pi, 2\pi,\ldots, (N-1)\pi$ числитель выражения (5) становится равным нулю. Это и будут минимумы интенсивности. Их положения отвечают значениям $ \delta_{}$, равным

$\displaystyle \delta={k'\over N}\cdot 2\pi \qquad(k=1,2,\ldots,N-1) .$ (10)

В промежутках между $ N-1$ минимумами располагаются $ N - 2$ вторичных максимумов. Наибольшей интенсивностью обладают вторичные максимумы, ближайшие к главным максимумам. Вторичный максимум, ближайший к главному максимуму нулевого порядка, лежит между первым $ (k'=1)$ и вторым $ (k' = 2)$ минимумами. Этим минимумам отвечают значения $ \delta$, равные $ \displaystyle2\pi\over\displaystyle N$ и $ \displaystyle4\pi\over\displaystyle N$.Следовательно, рассматриваемому вторичному максимуму соответствует $ \delta =
{\displaystyle3\pi\over\displaystyle N}$. Подстановка этого значения в формулу (5) дает

$\displaystyle I\left({3\pi\over
N}\right)=Ka^2{\sin^2\left({\displaystyle3\pi\o...
...e
2}\right)\over\sin^2\left({\displaystyle3\pi\over\displaystyle2N}\right)} .
$

Рис. 1

Числитель равен единице. При большом $ N_{}$ можно положить синус в знаменателе равным его аргументу $ \left(\sin\left({\displaystyle3\pi\over\displaystyle2N}\right)\approx
{\displaystyle3\pi\over\displaystyle2N}\right)$. Тогда

$\displaystyle I\left({3\pi\over N}\right)=Ka^2{1\over
\left({\displaystyle3\pi\...
...ht)^2}={Ka^2N^2\over
\left({\displaystyle3\pi\over\displaystyle2}\right)^2} .
$

В числителе получилась интенсивность главного максимума (см. (9). Таким образом, при большом $ N_{}$ ближайший к главному максимуму вторичный максимум имеет интенсивность в $ \left({\displaystyle3\pi\over\displaystyle2}\right)^2\approx 22$ раза меньшую, чем интенсивность главного максимума. Остальные вторичные максимумы оказываются еще слабее. На рис. 2 изображен график функции $ I(\delta)$ для $ N_{} =
10$. Для сравнения штриховой линией показан график интенсивности для $ N_{} = 2$ (двухлучевая интерференция; см. кривую $ I(x)$ на рис. 1). Из рисунка видно, что с увеличением числа интерферирующих лучей главные максимумы делаются все более узкими. Вторичные максимумы настолько слабы, что практически интерференционная картина имеет вид узких ярких линий на темном фоне.

Рис. 2

Теперь рассмотрим интерференцию очень большого числа лучей, интенсивность которых убывает в геометрической прогрессии. Складываемые колебания имеют вид

$\displaystyle E_1=a\exp(i\omega t), E_2=a\rho \exp[i(\omega t+\delta)],\ldots,E_m=a\rho^{m-1}\exp\{i[\omega t+(m-1)\delta]\},\ldots$ (11)

($ \rho$ — постоянная величина, меньшая единицы). Результирующее колебание описывается формулой

$\displaystyle E=\sum_{m=1}^N E_m=a\exp(i\omega t)\sum_{m=1}^N \rho^{m-1}\exp[i(m-1)\delta] .
$

Воспользовавшись выражением для суммы членов геометрической прогрессии, получим

$\displaystyle E=a\exp(i\omega t)\frac{1-\rho^N\exp(iN\delta)}{ 1-\rho
\exp(i\delta)}=\hat A \exp(i\omega t) .
$

Таким образом, комплексная амплитуда равна

$\displaystyle \hat A=a\frac{1-\rho^N\exp(iN\delta)}{1-\rho \exp(i\delta)} .$ (12)

Если $ N_{}$ очень велико, комплексным числом $ \rho^N\exp(iN\delta)$ можно пренебречь по сравнению с единицей (для примера укажем, что $ 0,9^{100}\approx3\cdot10^{-5}$). Тогда выражение (12) упрощается следующим образом:

$\displaystyle \hat A=a\frac{1}{1-\rho\exp(i\delta)} .
$

Умножив это выражение на комплексно с ним сопряженное, получим квадрат обычной амплитуды результирующего колебания:

\begin{multline}\nonumber
A^2 ={\hat A}{\hat A^*}=\frac{a^2}{[1-\rho \exp(i\delt...
...=\frac{a^2}{(1-\rho)^2+4\rho\sin^2\left({\delta\over2}\right)} .
\end{multline}

Отсюда

$\displaystyle I(\delta)=\frac{Ka^2}{(1-\rho)^2+4\rho\sin^2\left({\delta\over2}\right)}=\frac{I_1}{(1-\rho)^2+4\rho\sin^2\left({\delta\over2}\right)},$ (13)

где $ I_1=Ka^2$ — интенсивность первого (наиболее интенсивного) луча. При значениях

$\displaystyle \delta=2\pi m\qquad (m=0,\pm1,\pm2,\ldots)$ (14)

выражение (13) имеет максимумы, равные

$\displaystyle I_{\text{max}}=\frac{I_1}{(1-\rho)^2} .$ (15)

В промежутках между максимумами функция изменяется монотонно, достигая в середине промежутка значения, равного

$\displaystyle I_{min}=\frac{I_1}{(1-\rho)^2+4\rho}=\frac{I_1}{(1+\rho)^2}$ (16)

Таким образом, отношение интенсивности в максимуме к интенсивности в минимуме

$\displaystyle \frac{I_{max}}{I_{min}}=\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)^2$ (17)

оказывается тем больше, чем ближе $ \rho$ к единице, т. е. чем медленнее происходит убывание интенсивности интерферирующих лучей.

На рис.3 показан график функции (13) для $ \rho=0,8$. Из рисунка следует, что интерференционная картина имеет вид узких резких линий на практически темном фоне. В отличие от рис.2 вторичные максимумы отсутствуют.

Рис. 3


Далее: Интерферометр Фабри-Перо Вверх: Лекция 10. Назад: Лекция 10.

Отдел образовательных информационных технологий ЯГПУ
21.10.2014