Вверх: Лекция 12. Назад: Дифракция Фраунгофера

Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии

Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии представляет большой практический интерес, поскольку в оптических приборах оправы линз и объективов, а также диафрагмы имеют обычно круглую форму.

Дифракционную картину Фраунгофера от круглого отверстия в преграде $N_{}$ можно наблюдать на экране Э в фокальной плоскости линзы $L_{}$, направив на отверстие нормально плоскую световую волну (рис.25).

Рис. 25

Эта картина имеет вид центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Соответствующий расчет (он представляет большие трудности, и мы не будем его приводить) дает, что минимум первого темного кольца отстает от центра дифракционной картины на угловое расстояние

$$\boxed{\vartheta_1=1,22\frac{\lambda}{D}}$$ (29)

— это при условии, что диаметр отверстия $D \gg \lambda$, что чаще всего и бывает.

На рис.26 показана зависимость интенсивности света $I_{}$ от углового радиуса $\vartheta$ (угла дифракции), здесь $O_{}$ — центр дифракционной картины. Из формулы (29) следует, что размер дифракционной картины тем меньше, чем больше диаметр отверстия $D_{}$. Подавляющая часть светового потока (84%), проходящего через отверстие, попадает в область центрального светлого пятна. Поэтому в первом приближении дифракционную картину можно считать состоящей из одного лишь светлого пятна с угловым радиусом $\vartheta_1$, определяемым формулой (29). И центральное светлое пятно можно рассматривать как изображение удаленного точечного источника, уширенное дифракцией от краев круглого отверстия диаметра $D_{}$.

Рис. 26

Пример.

Найдем диаметр $d$ в мм центрального светлого пятна на экране, если диаметр отверстия $D = 1,0 { \text{мм}}$, фокусное расстояние $f = 50 { \text{см}}$ и длина волны света $\lambda = 0,5 { \text{мкм}}$. Экран находится в фокальной плоскости линзы. Освещенность светлого центрального пятна по мере увеличения угла дифракции $\vartheta$ монотонно падает (см. рис.26) и при визуальном наблюдении по контрасту это пятно кажется меньше. Его «диаметр» $d$ приближенно можно считать равным радиусу первого темного кольца, т. е. $d \approx f\vartheta$. Воспользовавшись формулой (29), получим

$$d \approx 1,22 \frac{\lambda f}{D} = 1,22 \frac{0,5\cdot 10^{-6}\cdot0,5}{10^{-3}}\approx 0,3 \cdot 10^{-3} \text{м} = 0,3 \text{мм}.$$

Следует обратить внимание на то, что в центре фраунгоферовой дифракционной картины от круглого отверстия всегда образуется максимум (в отличие от френелевой дифракции, когда в центре может образоваться как максимум, так и минимум).

Дифракционная расходимость пучка. Полученные результаты можно использовать для оценки дифракционной расходимости пучков света, диаметр которых ограничен, например, в результате прохождения плоской световой волны через отверстие (или диафрагму). Мы отметили, что основная часть светового потока, проходящего через отверстие, приходится на центральный дифракционный максимум, поэтому его ширину можно принять в качестве оценки угловой расходимости $\delta\Theta$ пучка с первоначальным диаметром поперечного сечения $D_{}$:

$$\boxed{\delta\Theta\sim{\lambda\over D}.}$$ (30)

Это весьма важный вывод: принципиально (из-за дифракции) невозможно создать совершенно параллельный ограниченный в сечении пучок света. Этим уширением можно пренебречь лишь в тех случаях, когда оно мало по сравнению с исходной шириной пучка.

Пример.

Оценим дифракционное уширение «параллельного» лазерного пучка с исходным диаметром $D_0 = 2$мм на расстоянии $\ell = 100$м от лазера, если длина волны света $\lambda = 0,60$мкм. Из-за дифракционной расходимости интересующий нас диаметр пучка оказывается равным

$$D \approx \ell\delta\Theta \approx{\ell\lambda\over D_0} ={ 100\c... ...,6\cdot10^{-6}\over2 \cdot10^{-3}} = 30\cdot10^{-3} \text{м} = 30 \text{мм}.$$

Как видно, дифракционное уширение весьма значительно.

Дифракция от множества отверстий. Важно отметить, что при фраунгоферовой дифракции распределение интенсивности в дифракционной картине определяется только направлением лучей, а не положением световых пучков. Это означает, что распределение интенсивности не изменится, если отверстие в преграде сместить в сторону без изменения его ориентации.

Особый интерес представляет ситуация, когда в преграде имеется большое число $N_{}$ одинаковых отверстий. Здесь возможны два случая:

1) отверстия расположены хаотично, беспорядочно;

2) отверстия расположены упорядоченно, регулярно.

В первом случае фазовые соотношения между волнами, дифрагированными от отдельных отверстий, имеют случайный характер (волны оказываются некогерентными). Поэтому для каждого направления наблюдения происходит простое сложение интенсивностей волн, дифрагированных от всех отверстий. Распределение интенсивности в дифракционной картине от одного отверстия не зависит от его положения. От большого числа $N_{}$ отверстий получается такая же картина, но усиленная по интенсивности в $N_{}$ раз.

Этим приемом, кстати, пользуются, желая усилить освещенность дифракционной картины от «одного» отверстия, если источник света довольно слабый.

Во втором случае, напротив, волны, дифрагированные от соседних отверстий, имеют определенное значение разности фаз, и волны оказываются когерентными. Интерференция этих волн существенно изменяет дифракционную картину, образуя резкое увеличение интенсивности в некоторых направлениях. Это обстоятельство имеет большое практическое значение, и более подробно мы рассмотрим этот вопрос на примере дифракционной решетки в § 5.7.

Разрешающая способность объектива. Как мы сейчас увидим, соотношение (29) играет важную роль в этом вопросе. Вследствие волновой природы света изображение точки, даваемое линзой, имеет вид дифракционного кружка — результат дифракции света на оправе линзы. Так как свыше 80% проходящего через линзу светового потока приходится на центральное светлое пятно, то в дальнейшем на окружающие его кольца можно не обращать внимания.

Теперь рассмотрим два одинаковых некогерентных точечных источника. Если расстояние между центрами их изображений мало по сравнению с размерами центральных светлых пятен, то результирующая картина практически не отличается от изображения одного точечного источника. И тогда говорят, что объектив не разрешает рассматриваемые точки.

Начиная с некоторого расстояния между центрами обоих светлых кружков, между ними появляется темный провал, и это будет восприниматься как раздельное изображение двух точек. Объектив, как говорят, будет разрешать эти точки.

Количественный критерий разрешающей способности может быть сформулирован по ряду причин лишь условно. Такой условный критерий был предложен Рэлеем. Согласно критерию Рэлея, два точечных некогерентных источника считаются разрешенными, если центр дифракционного пятна от одного из них совпадает с ближайшим к центру минимумом дифракционной картины от другого. Это соответствует минимальному угловому расстоянию между источниками, определяемому формулой (29):

$$\boxed{\vartheta_{\text{мин}}=1,22\frac{\lambda}{D}}.$$ (31)

Результирующая картина показана на рис. 27, где провал составляет около 25% от максимума интенсивности.

Рис. 27

Величину, обратную предельному углу $\vartheta_{\text{мин}}$, называют разрешающей способностью (или разрешающей силой):

$$R=\frac{1}{\vartheta_{\text{мин}}}=\frac{D}{1,22\lambda}.$$ (32)

Рассматриваемый вопрос особенно важен в теории телескопа. Изображение звезды в фокальной плоскости объектива телескопа представляет собой лишь дифракционную картину, образуемую круглой оправой объектива. Как видно из (32), разрешающая способность объектива телескопа пропорциональна диаметру объектива. Телескоп с диаметром зеркала $D_{} = 5$м может обеспечить для света с $\lambda = 0,55$мкм угловое разрешение

$$\vartheta_{\text{мин}}=1,22\frac{0,55\cdot10^{-6}}{5}\approx 1,3\cdot10^{-7}\approx 0,03 \text{угл. сек}$$

и разрешающую способность $R\sim 10^7$.

Увеличение разрешающей способности телескопов путем сооружения гигантских конструкций имеет естественный предел, обусловленный прочностью конструкционных материалов. Этот предел практически уже достигнут. Принципиально новые возможности повышения разрешающей способности связаны с идеей, суть которой состоит в построении большой оптической системы из множества зеркал сравнительно небольшого размера, которые образуют единую поверхность. Это позволяет существенно снизить массу составного зеркала-отражателя.

Глаз при рассматривании удаленных предметов действует в принципе так же, как объектив. Поэтому формулы (31) и (32) применимы и к глазу. Роль величины $D_{}$ играет диаметр $d$ зрачка глаза. Полагая $d\approx4 {\text{мм}},\ \lambda = 0,55 {\text{мкм}}$, находим, что разрешаемое угловое расстояние глазом

$$\vartheta_{\text{мин}} = {1,22 \lambda\over d} = 1,67\cdot 10^{-4} =35{ \text{угл.сек}}.$$

Этот результат удивительно хорошо согласуется с физиологической оценкой разрешающей способности глаза, связанной со структурой его сетчатки.

Вверх: Лекция 12. Назад: Дифракция Фраунгофера