Приложения

1. Критерий знаков

В случае, когда требуется определить закономерную качественную направленность в изучаемом процессе, часто прибегают к так называемому критерию знаков (КЗ). Он основан на учете только количества однонаправленных изменений показателей, не принимая во внимание степени их выраженности.

Пример:

У 10 испытуемых (n=10) изучалось влияние серии глубоких приседаний на результаты в последующих за ними прыжков в длину с места. Оказалось, что под влиянием такой нагрузки у 8 человек результат в прыжках увеличился, а у 2 – уменьшился. Правомерно ли считать, что приседания оказали достоверно положительное воздействие на результат в прыжке?

За формализованным ответом, опирающимся на вероятностную оценку событий обращаемся к табл.1.

 Таблица 1

Максимальное число знаков, при которых различия в парных сравнениях можно считать существенными

При совмещении позиции n с числом однонаправленных сдвигов находим, что при n=10 достоверным качественным изменением показателей является положительный сдвиг не менее чем у девяти испытуемых, в то время как в нашем случае таковых только восемь. Таким образом, КЗ не выявил положительного влияния предварительной нагрузки на результат в прыжках (Р≥0,05). Появившиеся сомнения в справедливости подобного вывода можно подтвердить или опровергнуть либо увеличением числа наблюдений, либо изменением вида тренировочной нагрузки и режимов ее применения.

Недостатком КЗ является неучет количественных значений изучаемых параметров, каковыми в нашем случае являются собственно результаты в прыжках. Компенсировать это несовершенство, можно при помощи критерия Т Вилкоксона.

2. Парный критерий Т Вилкоксона

По сравнению с КЗ критерий Т является более точным, поскольку достоверность полученных результатов оценивается здесь как по направленности сдвигов, так и по их количественной выраженности.

Опуская математическую основу методики, которую можно найти в соответствующих справочниках, рассмотрим практическую фазу ее применения. В качестве примера вновь обратимся к финальной стадии обработки результатов эксперимента, суть которого изложена в §1.

 Таблица 2

Определение влияния N приседаний на результат в прыжках в длину с места с помощью критерия Т Вилкоксона

Задача остается прежней - определить уровень достоверности сдвига в результатах в прыжках в длину под влиянием предварительно примененной серии приседаний. Последовательность статистической обработки материала представлена в таблице 2.

При определении достоверности события в данном случае сопоставляют два основных показателя:

а) количество сравниваемых пар (n),

б) сумма значений рангов результатов по знаку противоположных общей направленности сдвига (Т_эмп=3,5).

в) если Т_эмп. ≤ Т_кр., то событие достоверно при заданном уровне значимости (или вероятности ошибки 1-го рода).

Обратившись к табл. 3, находим, что при n=10 и Т_эмп=3,5 ≤ Т_кр = 17 и отличия достоверны при Р ≤ 0,01, а потому можно утверждать, что выводы о пользе приседаний достаточно обоснованны.

 Таблица 3

Максимальные значения Т_кр, при которых различия между двумя группами можно считать значимыми с Р_Т=0,05 и Р_Т=0,01

Как видно, определение значения Т не представляет затруднений, однако здесь важно уметь ранжировать одинаковые значения двух или более результатов. При возникновении подобной ситуации всем им, независимо от места расположения в выборке сначала присваиваются последовательные ранги нормального ряда чисел, и только потом находится их среднеарифметическое значение. В нашем случае первоначальное расположение рангов разностей в результатах выглядит как 9,2,6,3,1,4,6,6,8,3, но поскольку разность в три сантиметра встречается дважды (ранги 2 и 3), то окончательно «места», которые они занимают определяются как (2+3)/2=2,5 (см. табл.2). Добавим, что ранги присваиваются абсолютным значениям чисел без учета направленности их сдвига.

Пример с последовательным применением КЗ и критерия Т Вилкоксона обнаруживает несовпадение в результатах определения достоверности (P), что свидетельствует о разном спектре их возможностей.

При небольшом числе ранжируемых переменных это сделать несложно, однако при значительном числе испытуемых и многократно встречающихся одинаковых результатах возникает вероятность ошибки. Здесь на помощь может прийти компьютерная программа Excel из пакета прикладных программ Microsoft Office любой версии.

Рис. 1. Скриншот открытой «Рабочей книги»

Рассмотрим нахождение рангов для нашего примера из табл. 2. Откроем программу и создадим т.н. «рабочую книгу» (рис. 1). Введём необходимые результаты в соответствующие ячейки. Для нахождения нужной нам функции подведем курсор мышки к пиктограмме «fx – вставка функции».

В «строку формул» (справа от пиктограммы fx) введем следующую формулу:

=РАНГ(ЧИСЛО;ССЫЛКА;1)+(СЧЁТ(ССЫЛКА)+1-РАНГ(ЧИСЛО;ССЫЛКА;0)-РАНГ(ЧИСЛО;ССЫЛКА;1))/2, где ЧИСЛО – это число для которого необходимо вычислить ранг, ССЫЛКА – диапазон значений всех ранжируемых величин, $, 0, 1 – вспомогательные значения.

Рис. 2. Введение формулы в «строку формул»

Для нашего примера это будет выглядеть так:

=РАНГ(A3;A$3:A$12;1)+(СЧЁТ(A$3:A$12)+1-РАНГ(A3;A$3:A$12;0)-РАНГ(A28;A$28:A$37;1))/2 (рис. 2).

И нажимаем клавишу Enter на клавиатуре для вставки функции в соответствующую ячейку.

Для полученной разности у первого испытуемого получили ранг 10. Чтобы получить оставшиеся ранги, «тянем» курсор «мышки» вниз автоматически заполняя оставшиеся ячейки. Получили идентичные результаты, как и при расчетах вручную (рис. 3).

Рис. 3. Получение значений рангов в оставшихся ячейках

3. Ранговая корреляция по Спирмену

В тех случаях, когда необходимо установить возможную функциональную связь между двумя изучаемыми параметрами, используют метод называемый ранговой корреляцией. Например, группа испытуемых последовательно выполняет тестовые задания в беге на 30м и тройном прыжке с места. Требуется определить влияет ли уровень развития быстроты на результат в прыжке.

В поисках ответа на поставленный вопрос сравнивают места (ранги), которые занимает каждый участник в каждом из обоих видов.

Иногда даже визуальное сопоставление рангов говорит в пользу функциональной взаимозависимости исследуемых показателей. Однако более обоснованное заключение можно получить лишь с помощью приемов статистической обработки материала. Ее технологии достаточно проста и она изложена в табл. 4

 Таблица 4

Определение коррелятивной зависимости между результатами в беге на 30м и тройным прыжком с места

Сначала в таблицу вносятся результаты испытуемых в тройном прыжке и определяются ранги (места) каждого участника. Если два или более результата одинаковы, то им присваивается одинаковый ранг, составляющий среднеарифметическое значение нормального ряда чисел (см. § 2). Далее в очередную графу вносятся результаты в беге, которые ранжируются по уже известной схеме.

Сопоставляя парные ранги, находят их арифметическую разность (d_i), после чего каждая из найденных разностей возводится в квадрат (d_i²). Затем определяется сумма этих квадратов разностей (∑d_i²). Далее с помощью формулы находится коэффициент корреляции, (число 6 в формуле – постоянное).

Сумма квадратов разностей в нашем случае составила 4,0. Подставляя все значения в формулу, находим, что r = 0,98

Из таблицы 5 находим, что при n = 10 значимый уровень корреляции составляет менее 0,001, что говорит об очень высокой функциональной взаимосвязи исследуемых показателей.

 Таблица 5

Минимальные значения коэффициентов нормальной корреляции, при которых связь между двумя рядами наблюдений можно считать значимой с уровнем надежности Р; n – число пар сравниваемых наблюдений

В табличном редакторе Excel коэффициент корреляции находим, вычислив ранги, как было показано выше.

Рис. 4. Вставка формулы в «строку формул»

Затем в следующем столбце (К) найдем разности рангов с последующим возведением в квадрат (столбец L), для чего в «строку формул» внесем нужные формулы: =H3-J3 и = Кˆ2. В ячейке L14 находим сумму квадратов разностей рангов (СУММ (L3:L12)) (рис. 4).

         Далее на основании полученных цифровых данных производим расчет коэффициента корреляции. Для этого в «строку формул» вносим формулу =1-(6*L14)/(10*(10ˆ2-1)) (рис. 5).

Рис. 5. Расчет коэффициента корреляции

Кроме рассмотренных непараметрических существуют параметрические методы математической статистики. К ним относятся критерий Т Крамера – Уэлча, t-критерий Стьюдента, корреляция Пирсона. Они более точны, хотя и более трудоемки, однако сфера их применения ограничена выборками с относительно небольшими отклонениями параметров от их средней величины.

Таким образом, достоверность сдвигов с применением этих методик может определяться как в «ручном» варианте, так и с помощью специальных компьютерных программ.